Bài 6 trang 84 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 

Bài 6 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FD = FN.

a) Chứng minh rằng ∆MFN = ∆PFD.

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của GH. Gọi K là trung điểm của DP. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Lời giải:

GT	$∆$MNP nhọn, trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G, D thuộc tia đối của tia FN, FD = FN. b) H ∈ FD, F là trung điểm của GH, K là trung điểm của DP.
KL	a) ∆MFN = ∆PFD. b) Ba điểm M, H, K thẳng hàng.

 

a) Xét ∆MFN và ∆PFD có:

MF = PF (do F là trung điểm của MP);

$\widehat{MFN}=\widehat{PF\text{D}}$ (hai góc đối đỉnh);

FN = FD (giả thiết).

Do đó ∆MFN = ∆PFD (c.g.c)

Vậy ∆MFN = ∆PFD.

b) Ta có: F là trung điểm của GH (giả thiết) nên FH = FG.

Mà FD = FN (giả thiết)

Do đó FD – FH = FN – FG hay DH = NG.

Mặt khác: tam giác MNP có hai trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G (giả thiết)

Do đó G là trọng tâm tam giác MNP

Suy ra $NG=\frac{2}{3}NF$ (tính chất trọng tâm của tam giác)

Mà DH = NG (chứng minh trên) và NF = DF (giả thiết)

Do đó $DH=\frac{2}{3}DF$

Tam giác MDP có đường trung tuyến DF và DH = $\frac{2}{3}$DF nên H là trọng tâm của tam giác MDP.

Lại có K là trung điểm của DP (giả thiết) nên MK là đường trung tuyến của tam giác MDP

Do đó trung tuyến MK đi qua trọng tâm H

Suy ra M, H, K thẳng hàng.

Vậy M, H, K thẳng hàng.