Bài 7 trang 84 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 

Bài 7 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=\frac{1}{2}AC$, AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (D ∈ BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB.

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ KC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC vuông tại A, $AB=\frac{1}{2}AC$, AD là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (D ∈ BC). E là trung điểm của AC. b) AB cắt DE tại K. c) AD cắt CK tại H.
KL	a) DE = DB. b) ∆DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK. c) AH ⊥ KC.

 

a) Do E là trung điểm của AC (giả thiết) nên AE = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = $\frac{1}{2}$AC (giả thiết) nên AE = AB.

Vì AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (giả thiết) nên $\widehat{BA\text{D}}=\widehat{E\text{A}D}$.

Xét ∆ABD và ∆AED có:

AB = AE (chứng minh trên);

$\widehat{BA\text{D}}=\widehat{E\text{A}D}$ (chứng minh trên);

AD là cạnh chung.

Do đó ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

Suy ra DB = DE (hai cạnh tương ứng).

Vậy DE = DB.

b)

+) Vì ∆ABD = ∆AED (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{ADE}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{KDB}=\widehat{C\text{D}E}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\widehat{A\text{D}B}+\widehat{K\text{D}B}=\widehat{A\text{D}E}+\widehat{C\text{D}E}$ 

Hay $\widehat{ADK}=\widehat{A\text{D}C}$.

Xét ∆ADK và ∆ADC có:

$\widehat{DAK}=\widehat{DAC}$ (do AD là tia phân giác của góc BAC);

AD là cạnh chung;

$\widehat{ADK}=\widehat{A\text{D}C}$ (chứng minh trên)

Do đó ∆ADK = ∆ADC (g.c.g)

Suy ra DK = DC (hai cạnh tương ứng)

Do đó tam giác DCK cân tại D.

+) Vì ∆ADK = ∆ADC (chứng minh trên)

Suy ra AK = AC (hai cạnh tương ứng)

Mà $AB=\frac{1}{2}AC$ (giả thiết) nên $AB=\frac{1}{2}AK$ 

Mà A, B, K thẳng hàng nên B là trung điểm của AK.

Vậy B là trung điểm của AK.

c) Ta có AK = AC (chứng minh câu b) nên A nằm trên đường trung trực của KC.

Lại có DK = DC (chứng minh câu b) nên D nằm trên đường trung trực của KC.

Do đó AD là đường trung trực của KC

Suy ra AD ⊥ KC hay AH ⊥ KC

Vậy AH ⊥ KC.