Bài 9 trang 84 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 

Bài 9 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$.

c) Chứng minh rằng EB ⊥ BC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC vuông tại A, Tia phân giác của góc C cắt AB ở M, BH ⊥ CM (H ∈ CM). E thuộc tia đối của tia HC, HE = HM
KL	a) $∆$MBE cân. b) $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$ c) EB ⊥ BC.

 

a) Vì E thuộc tia đối của tia HC và HE = HM (giả thiết) nên H là trung điểm của ME.

Mà BH ⊥ CM tại H (giả thiết)

Do đó BH là đường trung trực của EM

Suy ra BM = BE.

Tam giác MBE có BM = BE nên tam giác MBE cân tại B.

Vậy tam giác MBE cân tại B.

b)

+) Xét ∆BEH (vuông tại H) và ∆BMH (vuông tại H) có:

BH là cạnh chung,

BE = BM (chứng minh câu a)

Do đó ∆BEH = ∆BMH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{HBE}=\widehat{HBM}$ (hai góc tương ứng) (1).

+) Xét ∆BHM vuông tại H có:

$\widehat{HBM}+\widehat{BMH}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{HBM}=90°-\widehat{BMH}$  (2)

Xét ∆ACM vuông tại A có:

$\widehat{ACM}+\widehat{CMA}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{ACM}=90°-\widehat{CMA}$  (3)

Mà $\widehat{BMH}=\widehat{CMA}$ (hai góc đối đỉnh) (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra $\widehat{HBM}=\widehat{ACM}$  (5).

Từ (1) và (5) suy ra $\widehat{HBE}=\widehat{ACM}$.

Vậy $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$

c) Vì CM là tia phân giác của $\widehat{BCA}$ (giả thiết) nên $\widehat{ACM}=\frac{1}{2}\widehat{BCA}$  (6)

Lại có $\widehat{HBE}=\widehat{HBM}$ (chứng minh câu b)

Nên BH là tia phân giác của $\widehat{EBM}$ do đó $\widehat{EBH}=\frac{1}{2}\widehat{EBM}$  (7)

Mà $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$ (chứng minh câu b) (8)

Từ (6), (7) và (8) ta có $\widehat{BCA}=\widehat{EBM}$ 

Xét tam giác ACB vuông tại A có:

$\widehat{ABC}+\widehat{BCA}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{EBM}=90°$

Hay $\widehat{EBC}=90°$, từ đó ta có EB ⊥ BC.

Vậy EB ⊥ BC.