Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 

Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE $\perp$ AN (E $\in$ AN).

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Lời giải:

GT	$∆$ABC vuông tại A, AB < AC, N ∈ BC, BA = BN, BE $\perp$ AN (E $\in$ AN). b) AH là đường cao, K là giao điểm của AH với BE. c) BK cắt AC tại F, G là giao điểm của AB với NF.
KL	a) BE là tia phân giác của góc ABN. b) NK // CA. c) $∆$GBC cân.

 

a) Xét ∆ABE (vuông tại E) và ∆NBE (vuông tại E) có:

BA = BN (giả thiết);

AE là cạnh chung.

Do đó ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{NBE}$ (hai góc tương ứng)

Do đó BE là tia phân giác của góc ABN.

Vậy BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Ta có ∆ABN có BE ⊥ AN, AH ⊥ BN (giả thiết)

Suy ra ∆ABN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K.

Do đó K là trực tâm của tam giác ABN.

Suy ra NK $\perp$ AB.

Mà CA $\perp$ AB (do ∆ABC vuông tại A)

Do đó NK // AC.

Vậy NK // AC.

c) Vì BE là tia phân giác của $\widehat{ABN}$ (chứng minh câu a) nên $\widehat{ABF}=\widehat{NBF}$.

Xét ∆ABF và ∆NBF có:

BA = BN (giả thiết),

$\widehat{ABF}=\widehat{NBF}$ (chứng minh trên),

BF là cạnh chung

Do đó ∆ABF = ∆NBF (c.g.c)

Suy ra AF = NF (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BAF}=\widehat{BNF}=90°$ (hai góc tương ứng).

Do đó FN $\perp$ BC.

Xét ∆AFG (vuông tại A) và ∆NFC (vuông tại N) có:

AF = NF (chứng minh trên),

$\widehat{AFG}=\widehat{NFC}$ (hai góc đối đỉnh),

Do đó ∆AFG = ∆NFC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AG = NC (hai cạnh tương ứng).

Lại có BA = BN (giả thiết)

Do đó BA + AG = BN + NC

Hay BG = BC.

Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.

Vậy tam giác BGC cân tại B.