Bài 1 trang 84 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 

Bài 1 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A ($\widehat{A}<90°$). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng ∆BEC = ∆CFB.

b) Chứng minh rằng ∆AHF = ∆AHE.

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng.

Lời giải:

GT	$∆$ABC cân tại A, $\widehat{A}<90°$; Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H; c) I là trung điểm của BC.
KL	a) ∆BEC = ∆CFB. b) ∆AHF = ∆AHE. c) Ba điểm A, H, I thẳng hàng.

 

a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ và AB = AC.

Xét ∆BEC (vuông tại E) và ∆CFB (vuông tại F) có:

$\widehat{ECB}=\widehat{FBC}$ (do $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$);

BC là cạnh chung.

Do đó ∆BEC = ∆CFB (cạnh huyền - góc nhọn).

Vậy ∆BEC = ∆CFB.

b) Vì ∆BEC = ∆CFB (chứng minh câu a)

Suy ra EC = FB (hai cạnh tương ứng).

Mà AB = AC (chứng minh câu a) nên AB - FB = AC - EC hay AF = AE.

Xét ∆AHF (vuông tại F) và ∆AHE (vuông tại E) có:

AF = AE (chứng minh trên);

AH là cạnh chung.

Do đó ∆AHF = ∆AHE (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Vậy ∆AHF = ∆AHE.

c) Vì ∆AHF = ∆AHE (chứng minh câu b)

Suy ra $\widehat{HAF}=\widehat{HAE}$ (hai góc tương ứng).

Do đó AH là tia phân giác của $\widehat{BAC}$  (1).

Xét $∆$ABI và $∆$ACI có:

AB = AC (chứng minh câu a);

AI là cạnh chung;

IB = IC (do I là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABI = ∆ACI (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAI}=\widehat{CAI}$ (hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH trùng AI hay A, H, I thẳng hàng.