Bài 5 trang 84 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 8 

Bài 5 trang 84 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng $\widehat{BMN}=\widehat{HAC}$.

b) Kẻ MI ⊥ AH (I $\in$ AH), gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải:

GT	$∆$ABC nhọn, AB < AC, đường cao AH, MN là đường trung trực của BC, M $\in$ AC, N $\in$ BC, b) MI $\perp$ AH (I $\in$ AH), K là giao điểm của AH với BM
KL	a) $\widehat{BMN}=\widehat{HAC}$ b) I là trung điểm của AK.

 

a) Vì M, N nằm trên đường trung trực của BC (giả thiết) nên MN là đường trung trực của BC

Suy ra MN ⊥ BC tại trung điểm N của BC và MB = MC (tính chất đường trung trực)

Xét ∆BMN (vuông tại N) và ∆CMN (vuông tại N) có:

MB = MC (chứng minh trên),

MN là cạnh chung.

Do đó ∆BMN = ∆CMN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{BMN}=\widehat{CMN}$ (hai góc tương ứng) (1).

Mặt khác: MN $\perp$ BC (chứng minh trên),

AH $\perp$ BC (giả thiết)

Do đó MN // AH.

Suy ra $\widehat{CMN}=\widehat{CAH}$ (hai góc đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{BMN}=\widehat{CAH}$.

Vậy $\widehat{BMN}=\widehat{HAC}$.

b) Ta có MN // AH (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{BMN}=\widehat{AKM}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{BMN}=\widehat{HAC}$ (chứng minh câu a)

Suy ra $\widehat{AKM}=\widehat{HAC}$ hay $\widehat{AKM}=\widehat{KAM}$ 

Do đó tam giác AMK cân tại M

Suy ra MA = MB nên M nằm trên đường trung trực của AK.

Lại có MI ⊥ AK tại I nên MI là đường trung trực của AK.

Do đó I là trung điểm của AK.

Vậy I là trung điểm của AK.