Giáo án Hệ thức Vi-ét và ứng dụng mới nhất - Toán 9

Hoạt động 1: Khởi động:

Cho phương trình

a.x² + bx + c = 0(a ≠ 0)

Hãy tính x₁ + x₂ ?

x₁.x₂ ?

a) Trường hợp Δ> 0

b) Trường hợp Δ = 0

Giáo viên nhận xét và cho điểm hai học sinh.

ĐVĐ: Chúng ta đã biết công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Bây giờ ta hãy tìm hiểu sâu hơn nữa mối liên hệ giữa hai nghiệm này với các hệ số của phương trình.

Hai học sinh lên bảng thực hiện. Học sinh 1 làm câu a, học sinh 2 làm câu b.

Cả lớp làm vào vở.

Học sinh dưới lớp nhận xét bài làm của bạn.

a) Khi Δ>0: P.trình có 2 nghiệm phân biệt 

b) Khi Δ=0: Phương trình có nghiệm kép x1=x2=

Hoạt động 2: Hình thành kiến thức

Mục tiêu: Phát biểu được định lí Vi- ét, vận dụng được định lí vào ví dụ đơn giản.

Kĩ thuật sử dụng: Giao nhiệm vụ, đọc hợp tác, hoàn tất một nhiệm vụ, chia nhóm.

Qua phần bài cũ em nào có phát hiện gì về mối liên hệ giữa hai nghiệm và các hệ số của một phương trình?

Đó chính là điều mà 400 năm trước nhà toán học Pháp Phzăngxoa Vi–ét đã thực hiện được. Kết quả này vì thế được coi là định lý mang tên ông: Định lý Vi–ét

- Nêu vài nét về tiểu sử nhà toán học Pháp Phzăngxoa Vi–ét (1540–1603) Nhờ định lí Vi–ét, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc hai, ta có thể suy ra nghiệm kia Ta xét hai trường hợp sau ở ?2 và ?3

Giáo viên treo bảng chuẩn các nhóm nhận xét lẫn nhau.

? Nếu phương trình

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm

- Khi a+b+c=0 thì nghiệm của phương trình như thế nào?

- Khi a–b+c=0 thì nghiệm của pt là như thế nào?

Lưu ý hs: Khi gặp phương trình có dạng a+b+c=0 hoặc a–b+c=0 thì ta có thể giải theo cách này mà không cần dùng công thức nghiệm.

Giáo viên chốt lại và đưa ra kết lụân TQ ( bảng phụ)

Yêu cầu hai học sinh trả lời ?4.

Gọi hai học sinh khác làm nhanh bài tập 26 a,c SGK

Một số học sinh nêu nhận xét của mình.

Vài học sinh đọc lại định lí Vi - ét

(Hoạt động nhóm)

Học sinh họat động nhóm

khoảng 5 phút làm ?2 và ?3

- Nửa lớp làm ?2

- Nếu a + b + c = 0 thì pt có 2 nghiệm: x₁=1; x₂=

- Nửa lớp làm ?3

- Nếu a – b + c = 0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt là

x₁=-1; x₂=-

Các nhóm treo bảng nhóm

lên bảng

(Hoạt động cá nhân)

Hai học sinh lần lượt đứng tại chỗ trả lời ?4.

Các học sinh khác nhận xét phần trả lời của bạn.

Hai học sinh đứng tại chỗ trả lời

1. Hệ thức vi – ét

a- Hệ thức

Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

b-Áp dụng: Tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình sau

?2: Cho pt: 2x² – 5x + 3 = 0

a) a = 2; b = - 5; c = 3

a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0

b) Thay x₁ = 1 vào phương trình

=> x₁=1 là một nghiệm của p.trình

c) Theo hệ thức Vi – ét x₁.x₂ =  mà x₁ = 1 x₂= 

?3: Cho pt: 3x² + 7x + 4 = 0

a) a = 3; b = 7; c = 4

a - b + c = 3 – 7 + 4 = 0

b) Thay x₁ = - 1 vào phương trình

3(-1)² + 7(-1) + 4 = 0 x₁ = -1 là một nghiệm của phương trình

c) Theo hệ thức Vi–ét: x1.x2 =  mà x1 = - 1 =< x₂= - 

c-Chú ý: Trong trường hợp đặc biệt:

- Nếu a+b+c=0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt là: x1=1; x2= 

- Nếu a–b+c=0 thì pt có 2 nghiệm phân biệt là: x1=-1; x2= 

?4: a) – 5x² + 3x + 2 = 0

Có a + b + c = -5 + 2 + 3 = 0

=> x₁ = 1 ; x₂ = - 2/3

b) 2004x² + 2005x + 1 = 0

Có a - b + c = 2004 – 2005 + 1 = 0

=> x₁ = - 1; x₂ =  = - 1/2004

Hệ thức vi – ét cho ta biết cách tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai . Ngược lại nếu biết tổng của hai số nào đó bằng S và tích của chúng bằng P thì hai số đó có thể là nghiệm của một phương trình không?

Xét bài toán-sgk

- Hãy chọn ẩn và lập phương trình bài toán?

Δ có dạng như thế nào?

Nếu Δ < 0 điều gì sẽ xảy ra?

Vậy để hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì phải có điều kiện gì ?

- Y/c hs đọc hiểu ví dụ 1sgk

Yêu cầu học sinh làm câu

?5: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, Tích của chúng bằng 5

Hướng dẫn học sinh làm ví dụ 2.

Học sinh trả lời....

Học sinh chọn ẩn và lập phương trình bài toán

- Nếu Δ = S² 4P Δ ≥ 0 thì 2 nghiệm của pt (*) là hai số cần tìm.

Nếu Δ < 0 thì không tồn tại 2 số mà tổng bằng S và tích bằng P.

Học sinh đọc lại kết luận sách giáo khoa

Học sinh tự làm vào vở một học sinh lên bảng thực hiện.

(hs hoạt động cá nhân)

Học sinh cùng giáo viên làm

ví dụ 2

2.Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Xét bài toán biết tổng của chúng là S và tích của chúng là P

Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là: (S – x)

Tích của hai số là P ta có phương trình: x.(S – x) = P

<=>x² – Sx + P = 0 (*)

Vậy để hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x² – Sx + P = 0

<=> Δ = S² - 4P ≥ 0

?5 Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình;

x² – x + 5 = 0

Δ = 12 – 4.5 = - 19 < 0 phương trình vô nghiệm. Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1 và tích bằng 5

Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình: x² – 5x + 6 = 0

Ta thấy 2 + 3 = 5; 2.3 = 6 vậy phương trình có 2 nghiệm là: x₁ = 2; x₂ = 3

Hoạt động 3: - Luyện tập

Mục tiêu: Vận dụng được kiến thức đã học để giải bài tập

Kĩ thuật sử dụng: Đặt câu hỏi, hoàn tất một nhiệm vụ.

- Phát biểu định lý Vi – ét ?

- Công thức nghiệm của hệ thức Vi-ét

? Tính nhẩm nghiệm

a) x² - 4x + 4 = 0

b) x² - 6x + 8 = 0

c) x² - 8x + 15 = 0

Hoạt động 4: Vận dụng

Giả sử x₁; x₂ là hai nghiệm của pt: 3x² - (3k - 2) - (3k +1) = 0 . Tìm các giá trị của k để 2 nghiệm của pt thỏa mãn đk: 3x₁ - 5x₂ = 6

HS hoạt động nhóm

GV Hướng dẫn

Hoạt động 5: Tìm tòi, mở rộng

- Học thuộc hệ thức Viét và cách tìm hai số biết tổng và tích

- Nắm vững các cách nhẩm nghiệm ; a+ b + c = 0 ( hoặc a – b + c = 0

- Làm các bài tập; 28, SGk và 35,36,37,38,39,41 SBT