Giáo án Hàm số liên tục mới nhất - Toán 11

Hình 1

Hình 2

Cầu quay sông Hàn – Đà Nẵng

Hình 3

Hình 4

Hố tử thần xuất hiện ở thành phố thành phố Fukuoka – Nhật Bản

Hình 5

Hình 6

$g\left(2\right)=1.$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }1=1$

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(-x^2+4x-3\text{ )=1}$

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=g\left(2\right)=1$, đồ thị là đường liền (liên tục).

- Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$.

- Cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=x_0$.

+ Tính $f\left(x_0\right)$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$

+ So sánh $f\left(x_0\right)$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$

+ Kết luận: Tính liên tục của hàm số.

-Vận dụng vào bài toán cụ thể.

Chuyển giao

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ: 

Giải bài toán theo hướng dẫn, tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$ trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=x_0$ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

HS:  các nhóm đưa ra cách giải và tìm hiểu  định nghĩa hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$ trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=x_0$ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

Báo cáo thảo luận

GV: HD hàm số liên tục tại một điểm.

- HS: Định nghĩa hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$.

- Cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=x_0$.

+ Tính $f\left(x_0\right)$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$

+ So sánh $f\left(x_0\right)$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$

+ Kết luận: Tính liên tục của hàm số.

- Áp dụng làm ví dụ.

1. Xét tính liên tục của hàm số: $f\left(x\right)=\frac{2x}{x-3}$ tại $x_0=2$

+ Tính $f\left(2\right)$ và $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$

+ So sánh $f\left(2\right)$ và $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$

+ Kết luận: $f\left(x\right)$ liên tục tại $x_0=2$

2. Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1khix>0\\ xkhix\le 0\end{array}\right.$. Xét tính liên tục của hàm số tại $x_0=1$

+ Tính $f\left(1\right)$ và $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$

+ $a=2\Rightarrow f\left(x\right)$liên tục tại $x_0=1$

+ $a\ne 2\Rightarrow f\left(x\right)$gián đoạn tại $x_0=1$

3. Cho hàm số f(x) = $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1khix>0\\ xkhix\le 0\end{array}\right.$. Xét tính liên tục của hàm số tại $x=0$

+ Tính $f\left(0\right)=\mathrm{0,}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$

+ So sánh $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}và\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\underset{x\to 0^{+}}{\lim f\left(x\right)}$

+ Kết luận: $f\left(x\right)$ gián đoạn tại $x=0$

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức

Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

1.Định nghĩa :

 * Hàm số $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

*  Hàm số  $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

2. Chú ý:

Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng  là 1 “đường liền”  trên khoảng đó.

3. Vận dụng vào bài toán cụ thể.

Chuyển giao

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ:  tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào bài toán cụ thể.

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

HS:  các nhóm đọc định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, liên tục trên một đoạn, liên tục trên tập xác định của nó và vận dụng vào bài toán cụ thể.

Báo cáo thảo luận

1.      Định nghĩa:

* Hàm số $y=f\left(x\right)$được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

*  hàm số  $y=f\left(x\right)$ được gọi là liên tục trên [a ; b] nếu nó liên tục trên $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

2.  Chú ý:

Đồ thị của 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng  là một “đường liền”  trên khoảng đó.

3. Vận dụng vào bài toán cụ thể.

VD1. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}\text{ , }0<x<9\\ m\text{ , }x=0\\ \frac{3}{x}\text{ , }x\ge 9\end{array}\right.$. Giá trị của m để $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[0;+\infty \right)$ là 

A. $\frac{1}{3}$                  B. $\frac{1}{2}$                C.$\frac{1}{6}$                      D.1

Đáp án : C.

Với $x\in \left(0;9\right)$ : $f\left(x\right)=\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ liên tục trên $\left(0;9\right)$.

Với $x\in \left[9;+\infty \right)$ : $f\left(x\right)=\frac{3}{x}$ liên tục trên $\left[9;+\infty \right)$.

Với $x=0$ ta có $f\left(0\right)=m$.

Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{3+\sqrt{9-x}}$$=\frac{1}{6}$.

Vậy để hàm số liên tục trên $\left[0;+\infty \right)$ khi nó phải liên tục tại $x=0$  $\iff$ $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=m$$\iff m=\frac{1}{6}$.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức

Dẫn dắt HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Định lí 1:

a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $ℝ$.

b. Hàm số phân thức hữu tỉ (Thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên tùng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2: Giả sử $y=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}và\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}y=g\left(x\right)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a. Các hàm số $y=f\left(x\right)+g\left(x\right),y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ và $y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b. Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $g\left(x\right)\ne 0$.

Định lí 3: Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in \left(a;b\right)$ sao cho $f\left(c\right)=0$.

Chuyển giao

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ:  tìm hiểu định nghĩa hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$ trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=x_0$ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

HS:  các nhóm đọc định nghĩa hàm số liên tục tại điểm $x=x_0$ trong sách giáo khoa; nêu cách xét tính liên tục của hàm số tại điểm $x=x_0$ và vận dụng vào bài toán cụ thể.

Báo cáo thảo luận

GV: HD nêu các định lý

HS: nêu các định lý

Định lí 1:

a. Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực $ℝ$.

b. Hàm số phân thức hữu tỉ (Thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên tùng khoảng xác định của chúng.

Định lí 2: Giả sử $y=f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}và\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}y=g\left(x\right)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a. Các hàm số $y=f\left(x\right)+g\left(x\right),y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$ và $y=f\left(x\right).g\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b. Hàm số $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $g\left(x\right)\ne 0$.

Định lí 3: Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c\in \left(a;b\right)$ sao cho $f\left(c\right)=0$.

*Phương pháp chứng minh phương trình  có k nghiệm trong $\left[a;b\right]$

Cho phương trình $f\left(x\right)=0\left(*\right)$

Để chứng minh phương trình $\left(*\right)$ có k nghiệm trong $\left[a;b\right]$, ta thực hiện các bước sau :

Bước 1 : Chọn các số $a<T_1<T_2<\mathrm{...}<T_{k-1}<b$ chia đoạn $\left[a;b\right]$ thành k đoạn thỏa mãn :

             $\left\{\begin{array}{l}f\left(a\right).f\left(T_1\right)<0\\ \mathrm{...}\\ f\left(T_{k-1}\right).f\left(b\right)<0\end{array}\right.$ 

Hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\left[a;b\right]$ nên liện tục trên k đoạn $\left[a;T_1\right];\left[T_1;T_2\right];\mathrm{...};\left[T_{k-1};b\right]$. 

Bước 2 : Kết luận về số nghiệm phương trình $\left(*\right)$trên $\left[a;b\right]$.

VD2. Số nghiệm thực của phương trình : $2x^3-6x+1=0$ thuộc khoảng $\left(-2;2\right)$ là :

   A. 0.                  B. 1.                    C. 2.               D. 3.

Đáp án : D

Hướng dẫn giải :

Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^3-6x+1$ liên tục trên $\left(-2;2\right)$.

Ta có : $f\left(-2\right)=-3;f\left(0\right)=1;f\left(1\right)=-3;f\left(2\right)=5$.

Suy ra : $f\left(-2\right).f\left(0\right)<0$ ;$f\left(0\right).f\left(1\right)<0$ và $f\left(1\right).f\left(2\right)<0$ .

Do đó phương trình : $2x^3-6x+1=0$có ít nhất 3 ngiệm thuộc khoảng $\left(-2;2\right)$.

VD3. Cho phương trình $f\left(x\right)=x^4-3x^2+x-\frac{1}{8}=0$  .Chọn khẳng định đúng:

A. Phương trình (1) có đúng một nghiệm trên khoảng $\left(-1;3\right)$.

B. Phương trình $\left(1\right)$ có đúng hai nghiệm trên khoảng $\left(-1;3\right)$.

C. Phương trình $\left(1\right)$ có đúng ba nghiệm trên khoảng $\left(-1;3\right)$.

D. Phương trình $\left(1\right)$ có đúng bốn nghiệm trên khoảng $\left(-1;3\right)$.

Đáp án : D.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hàm số $f\left(x\right)=x^4-3x^3+x-\frac{1}{8}=0$ liên tục trên $\left[-1;3\right]$ .

Ta có : $f\left(-1\right)=\frac{23}{8};f\left(0\right)=-\frac{1}{8};f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16};f\left(1\right)=-\frac{9}{8};f\left(3\right)=\frac{23}{8}$.

Suy ra : $f\left(-1\right).f\left(0\right)<0$ ;$f\left(0\right).f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ ; $f\left(\frac{1}{2}\right).f\left(1\right)<0$ và $f\left(1\right).f\left(3\right)<0$

Do đó phương trình  có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng $\left(-1;3\right)$.

Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.

Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng $\left(-1;3\right)$.

Cách 2:  Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương trình trong khoảng $\left(-1;3\right)$. Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức năng Table như trên.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV nhận xét, giải thích, làm rõ vấn đề, chốt kiến thức

Phương trình đa thức bậc lẻ  trong đó hệ số bậc cao nhất khác 0  luôn có ít nhất một nghiệm.

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

 GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết  của bài

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .

Báo cáo thảo luận

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau

 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.