Giáo án Phương trình lượng giác cơ bản mới nhất - Toán 11

Giáo án Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

 - Biết phương trình lượng giác cơ bản $\sin x=a;\cos x=a;\tan x=a;\cot x=a$ và công thức nghiệm.

 - Nắm được điều kiện của a để các phương trình $\sin x=a;\cos x=a$ có nghiệm.

 - Biết cách sử dụng các kí hiệu $\arcsin a,\arccos a,\arctan a,\mathrm{arccot}a.$

2. Năng lực

 - Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

    - Các kiến thức về công thức lượng giác   

    - Ti vi, máy tính

    - Phiếu học tập

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: tiếp cận phương trình lượng giác cơ bản

b) Nội dung: Ta xét bài toán sau:

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái đất theo quỹ đạo hình elíp (hình dưới). Độ cao h (tính bằng km) của vệ tinh so với bề mặt trái đất được xác định bởi công thức $h=550+450\cos \frac{\pi }{50}t$ , trong đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Người ta cần thực hiện một thí nghiệm khoa học khi vệ tinh cách mặt đất 250 km. Hãy tìm các thời điểm để có thể thực hiện thí nghiệm đó.

c) Sản phẩm

Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình  $550+450\cos \frac{\pi }{50}t=250\iff \cos \frac{\pi }{50}t=-\frac{2}{3}$

Nếu đặt  $x=\frac{\pi }{50}t$  thì phương trình trên có dạng  $\cos x=-\frac{2}{3}$.

d) Tổ chức thực hiện

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu và trình chiếu câu hỏi, yêu cầu HS làm việc cá nhân để hoàn thành hệ thống câu hỏi.

*) Thực hiện:  Yêu cầu HS suy nghĩ, trao đổi tích cực

GV gợi ý bằng cách đưa ra các các câu hỏi:

     - Câu hỏi 1:  Nêu yêu cầu của bài toán này?      

     - Câu hỏi 2:  Nếu đặt $x=\frac{\pi }{50}t$  thì hãy viết lại phương trình theo $x$ ?

*) Báo cáo, thảo luận:  

- GV gọi lần lượt 2 HS lên bảng trình bày câu trả lời của mình.

- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV nhận xét, đánh giá phần trả lời của HS.

- GV nhấn mạnh kết quả: “ tìm $x$  để  $\cos x=-\frac{2}{3}$”

Trong thực tế có nhiều bài toán dẫn đến việc giải các phương trình có dạng: $\sin x=a,\cos x=a,\tan x=a,\cot x=a$ với $x$  là ẩn, $a$  là tham số.

Các phương trình trên gọi là phương trình  lượng giác cơ bản.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚ

HĐ1: Phương trình $\sin x=a$

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết vận dụng giải phương trình $\sin x=a$

b) Nội dung

H1: Tìm công thức nghiệm của phương trình $\sin x=a$  và các trường hợp đặc biệt của nó

H2: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

$a) \sin x=\frac{1}{2},$   $b) \sin x=\frac{2}{5},$   $c) \sin (x+{15}^0)=\frac{-\sqrt{3}}{2},$   $d) \sin 5x=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

c) Sản phẩm

Phương trình $\sin x=a$  (1)

+ $\left|a\right|>1$ : phương trình (1) vô nghiệm.

+ $\left|a\right|\le 1$ : Gọi ,  phương trình $\left(1\right)$ có nghiệm là:

  $\sin x=\sin \alpha \iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\right.;k\in \mathbb{Z}$

  Chú ý

+ $\sin x=\sin {\beta }^{\circ }\iff \left[\begin{array}{c}x={\beta }^{\circ }+k{360}^{\circ }\\ x={180}^0-{\beta }^{\circ }+k{360}^{\circ }\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

+ $\left\{\begin{array}{c}-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le \frac{\pi }{2}\\ \sin \alpha =a\end{array}\right.\Rightarrow \alpha =\text{arcsina}$  , phương trình (1) có nghiệm:

$\left[\begin{array}{l}x=\arcsin a+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin a+k2\pi \end{array}\right.;k\in \mathbb{Z}$

+ $\sin f\left(x\right)=\sin g\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=\pi -g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

• Đặc biệt:

*$\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

*$\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

*$\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ví dụ 1:

$a)\sin x=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.,k\in Z$

$b)\sin x=\frac{2}{5}\iff \left[\begin{array}{l}x=\arcsin \frac{2}{5}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{2}{5}+k2\pi \end{array}\right.,k\in Z$

$c\left)\sin \right(x+{15}^0)=\frac{-\sqrt{3}}{2}=\sin \left(-{60}^0\right)\iff \left[\begin{array}{l}x+{15}^0=-{60}^0+k{360}^0\\ x+{15}^{{}^0}={180}^0+{60}^0+k{360}^0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-{75}^0+k{360}^0\\ x={225}^0+k{360}^0\end{array}\right.,k\in Z$

$d)\sin x=\frac{-\sqrt{2}}{2}=\sin (-\frac{\pi }{4})\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{-\pi }{4}+k2\pi \\ x=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.,k\in Z$

d) Tổ chức thực hiện

HĐ2. Phương trình $\cos x=a$

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết vận dụng giải phương trình $\sin x=a$ .

b) Nội dung: 

H1: Tìm công thức nghiệm của phương trình  và các trường hợp đặc biệt của nó

H2: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

$a) \cos \left(x+\frac{3\pi }{8}\right)=\frac{-3}{2}\begin{array}{c}, b) \cos \left(2x+5^0\right)=\frac{-1}{2}\begin{array}{c}, c) \cos 3x=\frac{4}{5}\begin{array}{c}, d) \cos \text{2}x\end{array}\end{array}\end{array}=\cos \frac{\pi }{10}$

c) Sản phẩm: 

Phương trình  $\cos x=a$ (2)

+ $\left|a\right|>1$ : phương trình (2) vô nghiệm.

+ $\left|a\right|\le 1$ : Gọi $\cos \alpha =a$,  phương trình (2) có nghiệm là:

          $\left[\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$ .

Chú ý.

+  $\cos x=\cos \alpha \iff \left[\begin{array}{c}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

+ $\cos x=\cos {\beta }^{\circ }\iff \left[\begin{array}{c}x={\beta }^{\circ }+k{360}^{\circ }\\ x=-{\beta }^{\circ }+k{360}^{\circ }\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

+  $\left\{\begin{array}{c}0\le \alpha \le \pi \\ \cos \alpha =a\end{array}\right.\Rightarrow \alpha =\text{arccosa}$, phương trình (2) có nghiệm: $x=\pm \arccos a+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

+ $\cos f\left(x\right)=\cos g\left(x\right)\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}$

• Đặc biệt:

+ $\cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

+ $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

+ $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Ví dụ 2:

a)     Phương trình vô nghiệm vì $\frac{-3}{2}\notin \left[-1;1\right]$

b)   $\cos (2x+5^0)=\frac{-1}{2}=\cos {120}^0\iff \left[\begin{array}{l}2x+5^0={120}^0+k{360}^0\\ 2x+5^0=-{120}^0+k{360}^0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{{115}^0}{2}+k{180}^0\\ x=\frac{-{125}^0}{2}+k{180}^0\end{array}\right.,k\in Z$

c)    $\cos 3x=\frac{4}{5}\iff 3x=\arccos \frac{4}{5}+k2\pi \iff x=\frac{1}{3}\arccos \frac{4}{5}+\frac{k2\pi }{3},k\in Z$

d)   $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{10}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{10}+k2\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{20}+k\pi ,k\in Z$

d) Tổ chức thực hiện

HĐ 3. Phương trình  $\tan x=a$

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết vận dụng giải phương trình $\tan x=a$ .

b) Nội dung: 

H1: Tìm công thức nghiệm của phương trình $\tan x=a$  và các trường hợp đặc biệt của nó

H2: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

$a) \tan x=\tan \frac{2\pi }{5}\begin{array}{c}, b) \tan x=-5\begin{array}{c}, c) \tan (x-{35}^0)=\sqrt{3}\begin{array}{c}, d) \tan 4x\end{array}\end{array}\end{array}=-1$

c) Sản phẩm

Phương trình $\tan x=a$  (3)

Điều  kiện của phương trình là: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in {\rm Z}\right).$

- Gọi x1 là hoành độ giao điểm($\tan x_1=a.$)thỏa mãn điều kiện $-\frac{\pi }{2}<x_1<\frac{\pi }{2}.$

Kí hiệu $x_1=\arctan a$ . Khi đó, nghiệm của phương trình là: $x=\arctan a+k\pi \left(k\in Z\right)$

* Chú ý: a) Phương trình   $\tan x=\tan \alpha \Rightarrow x=\alpha +k\pi (k\in Z)$

Tổng quát:   $\tan f\left(x\right)=\tan g\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi (k\in Z)$

                b)  Phương trình   $\tan x=\tan {\beta }^0\Rightarrow x={\beta }^0+k{180}^0(k\in Z)$

                c)  Các trường hợp đặc biệt:

• $\tan x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$
• $\tan x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$
• $\tan x=0\Rightarrow x=k\pi (k\in Z)$

Ví dụ 3:

$a)\tan x=\tan \frac{2\pi }{5}\iff x=\frac{2\pi }{5}+k\pi ,\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$

$b)\tan x=-5\iff x=\arctan (-5)+k\pi ,\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$

$c\left)\tan \right(x-{35}^0)=\sqrt{3}\iff x-{35}^0={60}^0+k{180}^0\iff x={95}^0+k{180}^0\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$

$d)\tan 4x=-1\iff 4x=\frac{-\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{-\pi }{16}+\frac{k\pi }{4},\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$

d) Tổ chức thực hiện

HĐ 4. Phương trình

a) Mục tiêu: Hình thành công thức và biết vận dụng giải phương trình $\cot x=a$ .

b)Nội dung: 

 H1: Tìm công thức nghiệm của phương trình  và các trường hợp đặc biệt của nó

 H2: Ví dụ 2: Giải các phương trình sau

$a) \cot x=\cot \frac{\pi }{5}\begin{array}{c}, b) \cot (x+5^0)=\frac{-1}{\sqrt{3}}\begin{array}{c}, c) \cot \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)=-1\begin{array}{c}, d) \cot 2x\end{array}\end{array}\end{array}=7$

c) Sản phẩm:

Phương trình $\cot x=a$  (4)  

 - Điều  kiện của phương trình là:    $x\ne k\pi ,(k\in Z)$

 - Gọi x1 là hoành độ giao điểm($\cot x_1=a.$ )thỏa mãn điều kiện $0<x_1<\pi .$

Kí hiệu $x_1=\mathrm{arccot}a$ . Khi đó, nghiệm của phương trình là: $x=\mathrm{arccot}a+k\pi \left(k\in Z\right)$

* Chú ý: a) Phương trình   $\cot x=\cot \alpha \Rightarrow x=\alpha +k\pi (k\in Z)$

Tổng quát:   $\cot f\left(x\right)=\cot g\left(x\right)\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi (k\in Z)$

                b)  Phương trình   $\cot x=\cot {\beta }^0\Rightarrow x={\beta }^0+k{180}^0(k\in Z)$

                c)  Các trường hợp đặc biệt:

• $\cot x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$
• $\cot x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$
• $\cot x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

Ví dụ 4:

$a)\cot x=\cot \frac{\pi }{5}\iff x=\frac{\pi }{5}+k\pi ,\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$

$b\left)\cot \right(x+5^0)=\frac{-1}{\sqrt{3}}\iff x+5^0=-{60}^0+k{180}^0\iff x=-{65}^0+k{180}^0,\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$$c)\cot \left(\frac{\pi }{4}-2x\right)=-1\iff \frac{\pi }{4}-2x=\frac{-\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$

$d)\cot 2x=7\iff 2x=\mathrm{arccot}7+k\pi \iff x=\frac{1}{2}\mathrm{arccot}7+\frac{k\pi }{2},\begin{array}{cc}& k\in Z\end{array}$

d) Tổ chức thực hiện

3. HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Học sinh biết áp dụng các kiến thức về phương trình lượng giác vào các dạng bài tập cụ thể.

b) Tổ chức thực hiện

4. HOẠT ĐỘNG 4:  VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu: Giải quyết một số bài toán ứng dụng phương trình lượng giác cơ bản trong thực tế.

b) Tổ chức thực hiện

Ngày   ......   tháng   .......    năm 2021

BCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Giáo án Hàm số lượng giác

Giáo án Một số phương trình lượng giác thường gặp

Giáo án Ôn tập chương 1

Giáo án Quy tắc đếm

Giáo án Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp