Giáo án Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm mới nhất - Toán 11

Giáo án Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Nắm được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.

- Hiểu rõ đạo hàm của một hàm số tại một điểm là một số xác định.

- Nắm được định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng.

- Nắm vững ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

- Hiểu rõ mối quan hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm.

- Biết cách tính đạo hàm tại một điểm của các hàm số thường gặp bằng định nghĩa.

- Viết được phương trình tiếp tuyến của một hàm số.

- Biết tìm vận tốc tức thời tại một thời điểm của một chuyển động có phương trình $S=f\left(t\right)$.

2. Năng lực

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót. Biết tự đặt ra các câu phát vấn về các vấn đề xoay quanh bài học để từ đó khắc sâu lượng kiến thức cần tìm hiểu.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề, phân tích tìm hiểu nội dung chính của câu hỏi và biết tìm câu trả lời trong bài học đó. Biết tự đặt ra câu hỏi tương tự hoặc phủ định câu hỏi vừa nghiên cứu. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Học sinh biết tự điều chỉnh nhiệm vụ học tập cho hợp lý.  Học sinh biết làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập và trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Học sinh tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp. Thông qua quá trình nghiên cứu, học sinh được trình bày kết quả. Từ đó nâng cao năng lực thuyết trình, đối đáp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học, biết ý nghĩa các ký hiệu, cách viết một cách chuẩn xác và khoa học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

    - Kiến thức về giới hạn hàm số   

    - Máy chiếu

    - Bảng phụ

    - Phiếu học tập

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu:

+ Tạo sự chú ý cho học sinh để vào bài mới.

+ Tạo tình huống để học sinh tiếp cận với khái niệm “đạo hàm”.

b) Nội dung: GV cho học sinh quan sát các hình ảnh (máy chiếu) và hướng dẫn, tổ chức học sinh  tìm tòi các kiến thức liên quan bài học.

H1. Theo em ở bức ảnh trên chú công an giao thông đang làm gì?

H2. Vận tốc của vận động viên tại các thời điểm khác nhau có bằng nhau không? Có tính được vận tốc tại thời điểm $t_0$ cụ thể được không?

H3. Một dòng điện chạy trong dây dẫn. Tính thời gian và cường độ dòng điện chạy qua dây dẫn tại thời điểm $t_0$ đến t ? Tính cường độ trung bình của dòng điện?

c) Sản phẩm:

Các phương án giải quyết ba câu hỏi ban đầu.

Dự kiến câu trả lời của HS.

TL1. Hình 1 chú công an đang bắn tốc độ các loại xe.

TL2. Vận động viên trong hình 2 chạy trên quãng đường được tính theo công thức $S=f\left(t\right)$

Giả sử tại thời điểm $t_0$, vận động viên ở vị trí M có $S_0=f\left(t_0\right)$; tại thời điểm $t_1$ $(t_1>t_0)$, vận động viên ở vị trí N có  $S_1=f\left(t_1\right)$. Khi đó, trong khoảng thời gian từ $t_0$ đến $t_1$, quãng đường vận động viên chạy được là $MN=f\left(t_1\right)-f\left(t_0\right)$. Vậy vận tốc trung bình của vận động viên trong khoảng thời gian đó là $\frac{f\left(t_1\right)-f\left(t_0\right)}{t_1-t_0}$ (1). Nếu $t_1-t_0$ càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của VĐV tại thời điểm $t_0$. Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số $\frac{f\left(t_1\right)-f\left(t_0\right)}{t_1-t_0}$ khi t dần đến $t_0$ là vận tốc tức thời  tại thời điểm $t_0$ của VĐV, kí hiệu là $v\left(t_0\right).$ 

Nói cách khác, $v\left(t_0\right)=\underset{t_1\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t_1\right)-f\left(t_0\right)}{t_1-t_0}$.

Bài toán tìm vận tốc tức thời

Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t: s = s(t).

Giới hạn hữu hạn (nếu có)  $\underset{t_1\to t_0}{\lim }\frac{f\left(t_1\right)-f\left(t_0\right)}{t_1-t_0}$ được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.

TL 3. Đ1. Thời gian: $t-t_0$. Cường độ: $Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)$          

          Đ2. Cường độ trung bình của dòng điện: Itb = $\frac{Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)}{t-t_0}$

· GV dẫn dắt tương tự như bài toán tìm vận tốc tức thời.

Bài toán tìm cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t :             $Q=Q\left(t\right)$ .

Giới hạn hữu hạn (nếu có) $\underset{t_1\to t_0}{\lim }\frac{Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)}{t_1-t_0}$  được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm $t_0$.

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV chia lớp thành các nhóm (nhóm có đủ các đối tượng học sinh, không chia theo lực học). GV nêu câu hỏi.

*) Thực hiện:  HS suy nghĩ độc lập, sau đó thảo luận tìm câu trả lời cho các câu hỏi H1, H2, H3. Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.

*) Báo cáo, thảo luận:  

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- GV gọi lần lượt 3 HS bất kỳ (mỗi HS thuộc một nhóm), lên bảng trình bày câu trả lời của nhóm mình (nêu rõ công thức tính trong từng trường hợp),

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời, đồng thời nêu ý kiến bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

- GV quan sát, lắng nghe, ghi chép.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

- Dẫn dắt vào bài mới.

 ĐVĐ. Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, ... dẫn đến bài toán tìm giới hạn:$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$. Trong toán học người ta gọi giới hạn trên là đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$(nếu giới hạn này là hữu hạn). Đó chính là nội dung bài học “Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm”.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

HĐ1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

a) Mục tiêu: Nắm được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.

b) Nội dung:

 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm (SGK)

H1. Bài toán tìm vận tốc tức thời. Một chất điểm chuyển động trên trục $s^{\text{'}}Os$. Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian $t:s=s\left(t\right)$. Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm $t_0$.

H2. Bài toán tìm cường độ tức thời. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t:Q=Q\left(t\right)$.

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

HĐ2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

a) Mục tiêu: Nắm được định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

b) Nội dung:

Vd1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^2+1$. Tính $\Delta y$ biết $\Delta x=\mathrm{0,2}$, $x_0=-1$; $x_0=2$, $\Delta x=-\mathrm{0,1}$.

Vd2: Nếu không tồn tại giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì ta kết luận là gì?

Vd3: Nếu kết quả của giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ là $+\infty$ hoặc $-\infty$ thì ta kết luận gì?

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

HĐ3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

a) Mục tiêu: Nắm được cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.

b) Nội dung:

vd4. Tính đạo hàm bằng định nghĩa của các hàm số sau tại các điểm đã được chỉ ra

a) $y=f\left(x\right)=x^2+2x-1$ tại $x_0=3$.

b) $y=g\left(x\right)=\sqrt{x}$ tại $x_0=4$.

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

HĐ4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

a) Mục tiêu: Nắm được mối quan hệ giữa tính liên tục của hàm số và đạo hàm của hàm số.

b) Nội dung:

Vd5: Có bao nhiêu trường hợp về hàm số không liên tục tại điểm $x_0$?

Vd6: (trên máy chiếu)

Đồ thị của hàm số nào dưới đây thể hiện hàm số đó liên tục tại điểm (0;0) ?

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

HĐ5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Mục tiêu: Nắm được ý nghĩa hình học của đạo hàm

b) Nội dung:

H1. Hệ số góc của đường thẳng $y=ax+b$ là gì? Sao lại gọi là hệ số góc?

Vd7: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2$. Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến tại điểm $x_0=2$.

A. k=-2.       B. k=0.      C. k=2.      D. k=6.

Vd8: Tìm đường thẳng có hệ số góc là 3 và đi qua điểm $M\left(1;2\right)$ trong các đường thẳng dưới đây?

A. $y=3x-1$.          B. $y=3x+1$.

C. $y=x-1$.            D. $y=3x+2$.

Vd9: Cho hàm số $y=\frac{x-5}{x+1}$. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left(1;-2\right)$.

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

HĐ6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Mục tiêu: Nắm được ý nghĩa vật lí của đạo hàm

b) Nội dung:

vd11:  Tính vận tốc của vật chuyển động thẳng tại thời điểm $t_0=3$ so với thời điểm bắt đầu chuyển động, biết quãng đường đi được của vật $s=2t^2+3t-1$.

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

a) Mục tiêu: Nắm được định nghĩa đạo hàm trên một khoảng

b) Nội dung:

vd12: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:

a) $f\left(x\right)=x^2$ tại điểm x bất kì;

b) $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ tại điểm bất kì $x\ne 0$

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các kiến thức về tính số gia của hàm số, tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số vào các bài tập cụ thể.

b) Tổ chức thực hiện

4. HOẠT ĐỘNG 4:  VẬN DỤNG.

a)Mục tiêu: Biết vận dụng định nghĩa đạo hàm và công thức tính đạo hàm vào giải quyết bài toán tính toán và các bài toán thực tế.

b) Tổ chức thực hiện

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Giáo án Quy tắc tính đạo hàm

Giáo án Đạo hàm của hàm số lượng giác

Giáo án Vi phân

Giáo án Vectơ trong không gian

Giáo án Hai đường thẳng vuông góc