Giáo án Giới hạn của dãy số mới nhất - Toán 11

Câu hỏi 1. Kết quả biểu diễn $u_n=\frac{1}{n}$ trên trục số

Nhận xét:

a) K/c từ $u_n$ tới 0 càng nhỏ khi  n  càng lớn

b) Từ số hạng thứ 101  trở đi.

    Từ số hạng thứ 1001 trở đi.

ĐỊNH NGHĨA 1:

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu $\left|u_n\right|$ có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$   hay  $u_n\to 0khin\to +\infty$ ( Dãy số $$ có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cùng)

Bài toán 2. $\left|u_n\right|<\frac{1}{100}\iff \left|\frac{{(-1)}^n}{n^2}\right|<\frac{1}{100}\iff \frac{1}{n^2}<\frac{1}{100}\iff n^2>100\iff n>10$ vậy $n_0=11$ trở đi.

Kết luận: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{(-1)}^n}{n^2}=0$

Bài toán 3: Có $u_n=\frac{2n+1}{n}-2=\frac{2n+1-2n}{n}=\frac{1}{n}$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }(\frac{2n+1}{n}-2)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$

ĐỊNH NGHĨA 2:

Ta nói dãy số $\left(v_n\right)$ có giới hạn là số a (hay dãy số $\left(v_n\right)$ dần tới a) khi $n\to +\infty$, nếu  $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(v_n-a\right)=0$.

Kí hiệu: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=a$ hay  $v_n\to a\begin{array}{c}\end{array}khi\begin{array}{c}\end{array}n\to +\infty$

Ví dụ:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }(\frac{2n+1}{n}-2)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0\iff \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n}=2$

2. Một vài giới hạn đặc biệt:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0;\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$ với k nguyên dương; $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ nếu $\left|q\right|=1$.

Nếu dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=c$ (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }c=c$

Chú ý: từ nay về sau thay vì viết $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ ta viết tắt là: $\underset{}{\lim }{u}_n=a$

Chuyển giao

Trình chiếu nội dung câu hỏi 1, chia lớp thành 4 nhóm

HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ, phân công các thành viên trong nhóm

Thực hiện

GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút

HS:  Đọc yêu cầu, trình bày nội dung câu trả lời trên bảng phụ

Báo cáo thảo luận

  Nhóm 1 đại diện báo cáo sản phẩm, các nhóm còn lại kiểm tra chéo theo sơ đồ 1-2-3-4.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm ; giới thiệu nội dung định nghĩa 1 ; yêu cầu học sinh đọc nội dung định nghĩa ;hướng dẫn viết và đọc kí hiệu

Yêu cầu thực hiện câu hỏi 2 và 3.

Chuyển giao

Trình chiếu nội dung câu hỏi 2,3 yêu cầu học sinh hoạt động cặp đôi

HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ

Thực hiện

GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút

HS:  Hoàn thành yêu cầu ra giấy nháp hoặc vở ghi

Báo cáo thảo luận

  Đại diện hai học sinh lên bảng trình bày kết quả

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các cặp đôi ; giới thiệu nội dung định nghĩa 2 ; yêu cầu học sinh đọc nội dung định nghĩa 2;hướng dẫn viết và đọc kí hiệu

Yêu cầu thực hiện câu hỏi 4

Chuyển giao

Nêu câu hỏi 4, yêu cầu hoạt động cá nhân

HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ

Thực hiện

GV: Cho học sinh thực hiện 1 phút

HS:  Hoàn thành yêu cầu và ghi lại kết quả, nêu dự đoán

Báo cáo thảo luận

  Đại diện hai học sinh đứng tại chỗ nêu kết quả, cả lớp thống nhất về kết quả và nhận xét.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

Đánh giá kết quả đạt được, hướng dẫn học sinh đọc và ghi nhớ những giới hạn đặc biệt

Câu hỏi 1. Chia cả tử và mẫu cho $n^2$ ta được $u_n=\frac{4n^2+2n-3}{1+2n^2}=\frac{4+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+2}$

                    Chia cả tử và mẫu cho $5^n$ ta được $v_n=\frac{{2.5}^n-3^n}{5^n-4^n}=\frac{2-{\left(\frac{3}{5}\right)}^n}{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^n}$

Dùng MTCT tính số hạng thứ 10;100;1000 dự đoán $\lim u_n=2;lim{v}_n=2$

Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 1.

a) Nếu $\lim u_n=a$ và $\lim v_n=b$ thì

$\lim \left(u_n+v_n\right)=a+b$

$\lim \left(u_n-v_n\right)=a-b$

$\lim \left(u_n.v_n\right)=a.b$

$\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$

b) Nếu $u_n\ge 0$ với mọi n và $\lim u_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$

Ví dụ:               $\lim \frac{4n^2+2n-3}{1+2n^2}=\lim \frac{4+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}}{\frac{1}{n^2}+2}=\frac{\lim \left(4+\frac{2}{n}-\frac{3}{n^2}\right)}{\lim \left(\frac{1}{n^2}+2\right)}=\frac{4+0-0}{0+2}=2$

                              $\lim \frac{{2.5}^n-3^n}{5^n-4^n}=\lim \frac{2-{\left(\frac{3}{5}\right)}^n}{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^n}=\frac{\lim \left(2-{\left(\frac{3}{5}\right)}^n\right)}{\lim \left(1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^n\right)}=\frac{2-0}{1-0}=2$

Chuyển giao

Trình chiếu nội dung câu hỏi , chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1,2 thực hiện yêu cầu với dãy ; nhóm 3,4 làm việc với dãy

HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ, phân công các thành viên trong nhóm

Thực hiện

GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút

HS: Trình bày nội dung câu trả lời trên bảng phụ

Báo cáo thảo luận

  Nhóm 1,3 đại diện báo cáo sản phẩm, các nhóm còn lại kiểm tra chéo theo sơ đồ 1-2 -3-4.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm ; giới thiệu nội dung định lý1 ; yêu cầu học sinh đọc nội dung định lý; hướng dẫn viết và đọc kí hiệu

Yêu cầu học sinh thực hiện ví dụ

Bài toán: a) Cấp số nhân có công bội $q=\frac{1}{2};u_1=\frac{1}{2}$

5 số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2};u_2=\frac{1}{4};u_3=\frac{1}{8};u_4=\frac{1}{16};u_5=\frac{1}{32}$

b) Tổng n số hạng đầu của CSN là $S_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1}{2}.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-\frac{1}{2}}=\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]$

Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn $\left(u_n\right)$ có công bội q với $\left|q\right|<1$ gọi là CSN lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn   $S\underset{}{=\frac{u_1}{1-q}},(\left|q\right|⟨1)$

Vậy $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\mathrm{...}\frac{1}{2^n}+\mathrm{....}=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1$

Chuyển giao

GV : Nêu nội dung bài toán, yêu cầu thực hiện cá nhân

HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ

Thực hiện

GV: Cho học sinh thảo luận 2 phút

HS: Hoàn thành yêu cầu ra nháp hoặc vở

Báo cáo thảo luận

  Đứng tại chỗ trả lời câu hỏi

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm ; giới thiệu khái niệm cấp số nhân lùi và hướng dẫn tính tổng.

Yêu cầu học sinh hoàn thiện bài toán vào vở.

Bài toán: a) $u_{100}={10}^4;u_{1000}={10}^6;u_{10000}={10}^8$ Nhận xét: $n\to +\infty \Rightarrow u_n\to +\infty$

b) $u_n>{10}^6\iff n^2>{10}^6\iff n>\sqrt{{10}^6}=1000$

     $u_n>{10}^8\iff n^2>{10}^8\iff n>\sqrt{{10}^8}=10000$

1. Định nghĩa: Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$có giới hạn  $+\infty$  nếu $\left(u_n\right)$ có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: $\lim u_n=+\infty$ hay $u_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn  $-\infty$ khi $n\to +\infty$nếu $\lim (-u_n)=+\infty$

Kí hiệu: $\lim u_n=-\infty$ hay $u_n\to -\infty$ khi $n\to +\infty$

Chú ý: $\lim u_n=+\infty \iff \lim (-u_n)=-\infty$

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $\lim n^k=+\infty$với k nguyên dương;

b) $\lim q^n=+\infty$nếu q>1.

3. Định lý

Định lí 2: 

a) Nếu $\lim u_n=a\ne 0$và $\lim v_n=\pm \infty$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$.

b) Nếu $\lim u_n=a>0$, $\lim v_n=0$ và $v_n>0$ với mọi n thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=+\infty$

c) Nếu $\lim u_n=+\infty$ và $\lim v_n=a>0$ thì $\lim \left(u_n.v_n\right)=+\infty$

Chuyển giao

GV : Nêu nội dung bài toán, yêu cầu thực hiện cá nhân

HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ

Thực hiện

GV: Cho học sinh thảo luận 2 phút

HS: Thảo luận cặp đôi, hoàn thành yêu cầu ra nháp hoặc vở

Báo cáo thảo luận

  Đứng tại chỗ trả lời câu hỏi

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm ; giới thiệu định nghĩa về giới hạn vô cực. Cho học sinh đọc Định nghĩa SGK-Tr118, giải thích thuật ngữ, cách ghi kí hiệu.

. Để tính giới hạn vô cực ta thừa nhận một số giới hạn đặc biệt và nội dung định lý (SGK-Tr118-119)

Chuyển giao

GV : Nêu nội dung ví dụ, chia lớp thành 4 nhóm

HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ

Thực hiện

GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút, gợi ý, biến đổi công thức của dãy số về dạng thuận lợi cho việc dùng các giới hạn đặc biệt và nội dung định lý ( Chú ý định lý chỉ áp dụng được khi một dãy có giới hạn hữu hạn, dãy còn lại có giới hạn vô cực)

HS: Nhóm 1,2 thực hiện nội dung a1,b1 ; nhóm 3,4 thực hiện nội dung a2.b2, trình bày câu trả lời ra bảng phụ

Báo cáo thảo luận

  Đại diện nhóm 2,4 lên bảng trình bày kết quả, nhóm 1,3 kiểm tra chéo kết quả của nhóm 2,4

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm , chú ý những biến đổi thường dùng để đưa các dãy số về dạng có thể áp dụng được định lý

Yêu cầu học sinh hoàn thiện bài toán vào vở.

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

 GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Chuyển giao

GV: Phát phiếu học tập 2 cuối tiết 53 của bài

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

Các HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .

Báo cáo thảo luận

HS trình bày  sản phẩm vào tiết 54

 Các em khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các em học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.