Giáo án Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp mới nhất - Toán 11

Giáo án Toán 11 Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Học sinh phát biểu được khái niệm Hoán vị của n phần tử; khái niệm Chỉnh hợp, Tổ hợp chập k của n phần tử.

- Học sinh nắm được công thức tính số các Hoán vị, số các Chỉnh hợp, số các Tổ hợp chập k của n phần tử.

- Học sinh tính được số các Hoán vị, số các Chỉnh hợp, số các Tổ hợp chập k của n phần tử.

- Học sinh nêu được các ví dụ phân biệt Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp.

2. Năng lực

 - Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

    - Kiến thức về quy tắc đếm.   

    - Máy chiếu, bảng phụ

    - Phiếu học tập

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: sử dụng quy tắc đếm vào bài toán cụ thể dẫn đến khái niệm Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp.

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh thực hiện yêu cầu bằng cách sử dụng các kiến thức liên quan bài học đã biết.

CH1- Một tổ có 10 bạn học sinh, hãy sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào một dãy 5 bàn mỗi bàn 2 chỗ ngồi. Có bao nhiêu cách sắp xếp như thế? .

CH2- Một tổ có 10 bạn học sinh, hãy phân công trực nhật tuần từ thứ Hai đến thứ Bảy, mỗi bạn trực nhật 1 ngày. Hỏi có bao nhiêu cách phân công khác nhau?

CH3- Một tổ có 10 bạn học sinh, chọn ra 2 bạn để đề cử vào ban cán sự lớp. Có tất cả bao nhiêu cách chọn?

c) Sản phẩm: Câu trả lời của HS

Đ1-  Lập sơ đồ bố trí 10 bạn vào 10 chỗ. Trả lời có 10.9.8.…2.1 cách.

Đ2-  Lập bản phân công trực nhật tuần. Trả lời có 10.9.8.7.6.5 cách khác nhau.

Đ3-  Lập danh sách đề cử 2 bạn. Liệt kê 45 cách khác nhau.

(Chú thích CH1: câu hỏi 1, Đ1 : Đáp án dự kiến cho câu hỏi 1)

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu câu hỏi

*) Thực hiện: HS suy nghĩ độc lập, thảo luận trao đổi với bạn ngồi cạnh. Sử dụng quy tắc đếm để trả lời câu hỏi 1, 2. Dùng phương pháp liệt kê trả lời câu hỏi 3.

*) Báo cáo, thảo luận:  

- GV gọi 3 hs, lên bảng trình bày câu trả lời của mình (nêu rõ công thức tính trong từng trường hợp)

- Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh dẫn dắt vào bài mới.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

I. Hoán vị.

a) Mục tiêu: - Phát biểu được định nghĩa hoán vị

       - Hiểu được bản chất của hoán vị

                              - Nắm được công thức tính số hoán vị của n phần tử

b) Nội dung: - Thực hiện các nhiệm vụ trong phiếu học tập, nghiên cứu SGK

                               - Phát biểu định nghĩa, định lý, làm các ví dụ giáo viên yêu cầu

H1: Trong một trân đấu bóng đá sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nên phải phải thực hiện đá luân lưu 11m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá 5 quả 11m. Hãy nêu 3 cách sắp xếp đá phạt .

H2: Nêu định nghĩa hoán vị.

H3: Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm 4 chỗ?

H4: Số các hoán vị của N phần tử

H5: Ví dụ 1:  Một nhóm HS gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

H6: Ví dụ 2:  Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh

L1: Ta giả thiết tên của 5 cầu thủ được chọn là $A,B,C,D,E$.  Để tổ chức đá luân lưu, huấn luyện viên cần phân công người đá thứ nhất, thứ 2, ... Hãy nêu 3 cách tổ chức đá luân lưu? GV gọi đại diện 3 nhóm lên bảng trình bày.

Nhóm 1	Nhóm 2	Nhóm 3
$ABCDE$	$ACBDE$	$CABDE$

Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị của tên 5 cầu thủ   

L2: Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử $(n\ge 1)$. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A đgl một hoán vị của n phần tử đó.

L3: Gọi An: A; Bình:B; Chi:C; Dung: D

Cách 1: Liệt kê.

Cách 2: Dùng quy tắc nhân

Có $\mathrm{4.3.2.1}=24$ cách 

L4: Số các hoán vị

Kí hiệu $P_n$ là số các hoán vị của n phần tử, ta có

$P_n=n(n-1)(n-2)\mathrm{....2.1}=n!$

Qui ước:     $0!=1$

L5: Mỗi cách sắp xếp 10 HS là một hoán vị của 10 phần tử.

 Số cách sắp xếp là $P_{10}=10!$

L6: Mỗi số tự nhiên lập được là một hoán vị của  phần tử.

Có$5!=120$số.

d) Phương thức thực hiện ( Hoạt động nhóm)

Chuyển giao	- GV chiếu hình ảnh đá bóng và đặt câu hỏi số 1, 2, 3, 4, 5, 6 - Chia lớp thành 4 nhóm: - Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.
Thực hiện	- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ. - Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.
Báo cáo thực hiện	- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. - GV gọi 2 HS của 2 nhóm lên trình bày lời giải cho nhóm - HS khác quan sát, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm các nhóm bạn. - HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo. - Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận và dẫn dắt học sinh hình thành khái niệm hoán vị..

II. Chỉnh hợp.

a) Mục tiêu:  - Nắm được định nghĩa Chỉnh hợp chập k của n phần tử, phân biệt với hoán vị.

                             - Nắm và vận dụng công thức tính số các Chỉnh hợp

                             - Vận dụng làm ví dụ đơn giản.

b) Nội dung:

H1: Một nhóm có 5 bạn $A,B,C,D,E.$ Hãy nêu ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng, một bạn sắp bàn ghế?

H2: Nêu định nghĩa chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

H3: Trên mặt phẳng, cho 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$. Liệt kê tất cả các vectơ khác $\overrightarrow{0}$ mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho. Suy ra số chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

H4: VD3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số $1;2;\mathrm{...};9$?

H5: VD4:Tính $A=\frac{A_5^2}{P_2}+\frac{A_{10}^5}{7P_5}$

c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh

L1:                              BẢNG PHÂN CÔNG

Quét	Lau	Sắp
A	B	C
A	B	D
A	C	B
…	…	…

L2: . Định nghĩa

Cho tập A gồm n phần tử $(n\ge 1)$. Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Nhận xét: Hai chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho khác nhau ở chỗ:

– Hoặc có phần tử ở chỉnh hợp này không ở chỉnh hợp kia;

– Hoặc thứ tự sắp xếp của các phần tử trong chúng khác nhau

L3: Kết quả

Cách 1: Liệt kê.

 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},$

$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}$

Cách 2: Dùng quy tắc nhân

Có 4.3=12 cách $\Rightarrow A_4^2=12$

Số các chỉnh hợp

Định lí: Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1\le k\le n)$ , ta có

$A_n^k=n(n-1)\mathrm{...}(n-k+1)$

L4: Mỗi số là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.$\Rightarrow$ Có $A_9^5=15120$ số.

L5:   $\frac{A_5^2}{P_2}=10$; $\frac{A_{10}^5}{7P_5}=36$ $\Rightarrow A=46$

d) Phương thức thực hiện:(Hoạt động nhóm )

Chuyển giao	- GV chiếu phân công. - Chia lớp thành 4 nhóm: - Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.
Thực hiện	- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ. - Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.
Báo cáo thực hiện	- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. - GV gọi 2 HS của 2 nhóm lên trình bày lời giải cho nhóm - HS khác quan sát, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm các nhóm bạn. - HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo. - Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành khái niệm chỉnh hợp chập k của n phần tử $(1\le k\le n)$  ..

III. Tổ hợp.

a) Mục tiêu:  - Nắm được định nghĩa tổ hợp chập k của n phần tử, phân biệt với hoán vị, chỉnh hợp.

                             - Nắm và vận dụng công thức tính số các tổ hợp.

                             - Nắm được tính chất của các số $C_n^k$ 

                             - Vận dụng làm ví dụ đơn giản.

b) Nội dung:

H1: Trên mặt phẳng, cho 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$ sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập 4 điểm đã cho?

H2: Định nghĩa tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

H3: Cho tập $A=\text{{}\mathrm{1,2,3,4,5}\}$. Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A. Suy ra số tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

H4: Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi có bao nhiêu cách lập:

a) Nếu 5 đại biểu là tuỳ ý.

b) Nếu trong đó có 3 nam và 2 nữ.

H5:

Nhóm 1	Nhóm 2	Nhóm 3
Tính $C_5^3$=?          $C_5^2$=?	Tính $C_6^2$=?          $C_6^4$=?	Tính $C_7^3$=?          $C_7^4$=?
Nhóm 1	Nhóm 2	Nhóm 3
Tính $C_5^2+C_5^3=?$  Và    $C_6^3=?$	Tính $C_6^2+C_6^3=?$  Và $C_7^4=?$	Tính $C_7^3+C_7^4=?$  Và $C_8^4=?$

Kết luận về tính chất của các số $C_n^k$

H6: VD5: Chứng minh với $2\le k\le n-2$ta có:$C_n^k=C_{n-2}^{k-2}+2C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k$

c) Sản phẩm:

L1:  Các tam giác tạo được $ABC,ABD,ACD,BCD$

L2: Định nghĩa

Giả sử tập A có n phần tử $(n\ge 1)$. Mỗi tập con gồm k phần tử của A là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Qui ước: Gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

L3:

$\begin{array}{l}\text{{}\mathrm{1,2,3}\},\text{{}\mathrm{1,2,4}\},\text{{}\mathrm{1,2,5}\},\text{{}\mathrm{1,3,4}\},\text{{}\mathrm{1,3,5}\},\text{{}\mathrm{1,4,5}\}\\ \text{{}\mathrm{2,3,4}\},\text{{}\mathrm{2,3,5}\},\text{{}\mathrm{2,4,5}\},\text{{}\mathrm{3,4,5}\}.\end{array}$

Số các tổ hợp

Định lí: Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử, ta có $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ,$(0\le k\le n)$

L4:

a). Là tổ hợp chập 5 của 10 phần tử. $C_{10}^5=252$

b). Chọn 3 nam: $C_6^3$ cách

Chọn 2 nữ: $C_4^2$ cách

Þ Có $C_6^3$.$C_4^2=120$ cách

L5:

Nhóm 1	Nhóm 2	Nhóm 3
$C_5^3=10$      $C_5^2=10$      $C_6^3=20$	$C_6^3=20$ $C_6^4$=20 $C_7^4=40$	$C_7^4$=35 $C_7^3$=35 $C_8^4=70$

Tính chất các số $C_n^k$

a)         $C_n^k=C_n^{n-k}$,                 $(0\le k\le n)$

b)         $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ ,          $(1\le k\le n)$

L6: Tính $C_{n-2}^{k-2}+C_{n-2}^{k-1}$= $C_{n-1}^{k-1}$

         $C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k$= $C_{n-1}^k$

          $\Rightarrow$$C_n^k=C_{n-2}^{k-2}+2C_{n-2}^{k-1}+C_{n-2}^k$

d) Phương thức thực hiện: 

Chuyển giao	- GV chiếu hình lập tam giác. - Chia lớp thành 4 nhóm: - Các nhóm viết câu trả lời vào bảng phụ.
Thực hiện	- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ. - Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.
Báo cáo thực hiện	- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. - GV gọi 2 HS của 2 nhóm lên trình bày lời giải cho nhóm - HS khác quan sát, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm các nhóm bạn. - HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo. - Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận, và dẫn dắt học sinh hình thành khái niệm tổ hợp chập k của n phần tử $(1\le k\le n)$

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Giúp học sinh cũng cố các khái niệm, công thức và các tích chất về hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp và áp dụng chúng vào các bài tập cụ thể.

b) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1 HS: Nhận nhiệm vụ,
Thực hiện	GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ HS: 4 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào phiếu học tập của mình.
Báo cáo thảo luận	Chọn câu hỏi cần trả lời Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận  Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

4. HOẠT ĐỘNG 4:  VẬN DỤNG

a) Mục tiêu: Vận dụng và mở rộng các bài tập đã giải. rèn luyện kỹ năng suy luận và tính toán, tư duy độc lập, năng lực tự học.

b) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết của bài HS: Nhận nhiệm vụ
Thực hiện	Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .
Báo cáo thảo luận	HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau  Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. - Chốt kiến thức tổng thể trong bài học. - Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Giáo án Quy tắc đếm

Giáo án Nhị thức Niu-tơn

Giáo án Phép thử và biến cố

Giáo án Xác suất của biến cố

Giáo án Ôn tập chương 2