Giáo án Khoảng cách mới nhất - Toán 11

Giáo án Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Biết được khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.

- Biết được khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

 - Biết được khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

- Biết được khái niệm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

 - Biết được khái niệm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

 - Biết được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

- Nắm và trình bày được các tính chất về khoảng cách và biết cách tính khoảng cách trong các bài toán đơn giản.

     - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian.

      - Xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

      - Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

      - Xác định được khoảng cách giữa hai đường thẳng và mặt phẳng song song.

      - Xác định được đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

      - Vận dụng được định lý ba đường vuông góc để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau, đồng thời biết cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

      - Nắm được mối liên hệ giữa các loại khoảng cách để đưa các bài toán phức tạp này về các bài toán khoảng cách đơn giản.

2. Năng lực

 - Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điềuchỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thựcsáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

    - Kiến thức về Quan hệ vuông góc: hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.   

    - Máy chiếu

    - Bảng phụ

    - Phiếu học tập

    - Bản đồ VN bản giấy mượn của tổ Địa Lí.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG 1: HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

a) Mục tiêu: Xem các hình ảnh, từ đó HS hình thành khái niệm khoảng cách giữa hai đối tượng trong không gian để giới thiệu bài mới

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan bài học đã biết.

H1- Tính khoảng cách từ Hà Nội đến TP HCM?

H2- Tính khoảng cách giữa mặt bàn học và mặt sàn? (giả thiết mặt bàn và mặt sàn song song)

H3- Tính chiều cao của kim tự tháp với gải thiết: Đại kim tự tháp Giza có hình chóp tứ giác đều, cạnh bên dài 231m, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $\mathrm{51,5}°$.

H4- Nêu lại điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

c) Sản phẩm

Câu trả lời của HS

L1- Khoảng cách từ Hà Nội đến tp HCM theo vị trí địa lí khoảng 1145 km.

L2- Khoảng cách giữa mặt bàn và mặt sàn bằng khoảng cách từu một điểm bất kì trên mặt bàn đến mặt sàn và bằng 75 cm (giá trị này gv có teher đo thực tế tại lớp học của mình)

L3- Chiều cao của kim tự tháp: Sau phần bài học chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi này.

L4- Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV nêu câu hỏi

*) Thực hiện:  HS suy nghĩ độc lập 

*) Báo cáo, thảo luận:  

- GV gọi lần lượt 4 hs, đứng tại chỗ trình bày câu trả lời của mình. Với câu hỏi 2 GV  cho học sinh đo trực tiếp tại lớp

-  Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới.

2. HOẠT ĐỘNG 2:  HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 2: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được các khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian

b) Nội dung:

CH1: Trong không gian cho một điểm O và một đường thẳng a, xác định điểm $H\in a$ sao cho độ dài OH là ngắn nhất?  Với mọi $M\ne H$ bất kì thuộc , so sánh OM với OH?

CH2: Trong không gian cho một điểm O và một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, xác định điểm $H\in a$ sao cho độ dài OH là ngắn nhất? Với mọi $M\ne H$ bất kì thuộc $\left(\alpha \right)$, so sánh OM với OH?

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động 3: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

a) Mục tiêu: Hình thành khái niệm khoảng cách gữa đường thẳng và mặt phẳng song song và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

b) Nội dung:

CH1: Khi để một cái thước kẻ song song với mặt bàn, so sánh khoảng cách từ điểm đầu và điểm cuối của thước kẻ xuống mặt bàn? Từ đó rút ra kết luận cách tìm khoảng cách giữa  đường thẳng và mặt phẳng song song?

CH2: so sánh khoảng cách từ các điểm khác nhau trên mặt bàn xuống mặt sàn (giả thiết mặt bàn song song mặt sàn)? So sánh khoảng cách từ các điểm khác nhau trên mặt trần xuống mặt sàn lớp học (giả thiết mặt trần và mặt sàn song song với nháu)? Từ đó rút ra kết luận cách tìm khoảng cách giữa  hai mặt phẳng song song?

c) Sản phẩm:

d) Tổ chức thực hiện

Hoạt động 4: Đường vuông vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a) Mục tiêu: Hình thành khái niệm đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

b) Nội dung:

CH1: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD. Chứng minh: $MN\perp BC$; $MN\perp AD$.

CH2: Đọc sách giáo khoa HH 11 trang 117 và nêu định nghĩa về đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

CH3: Đọc sách giáo khoa HH 11 trang 117 và nêu cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Từ đó rút ra nhận xét về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

CH4: Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai đường thẳng ấy.

CH5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.

c) Sản phẩm:

L1: Lời giải

Gọi độ dài cạnh của hình tứ diện đều ABCD là a có:

Tam giác ABC đều nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, tương tự $DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra tam giác AMD cân tại M, suy ra $MN\perp AD$.

Tương tự có $MN\perp BC$.

L2:  Định nghĩa.

a) Đường thẳng $\Delta$ cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

b) Nếu đường vuông góc chung $\Delta$ cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b lần lượt tại M,N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

L3: Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi $\left(\beta \right)$ là mặt phẳng chứa b và song song với a, b là hình chiếu vuông góc của a lên ($\beta$). Vì $a\text{//}\left(\beta \right)\Rightarrow a^{\text{'}}\text{//}a$. Do đó a' và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là N. Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng chứa a và a', $\Delta$ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với $\left(\beta \right)$. Khi đó $\left(\beta \right)\perp \left(\alpha \right)$ . Như vậy $\Delta$ nằm trong $\left(\alpha \right)$ và cắt a tại M, cắt b tại N, hơn nữa $\Delta$ vuông góc với cả a và b . Vậy $\Delta$ là đường vuông góc chung của a và b.

Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa mặt phẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

L4:

Giả sử MN là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b như hình vẽ,  hai điểm bất kì $A\in a$, $B\in b$ ta cần chứng minh  $MN\le AB$.

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng qua b và song song với a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên $\left(\alpha \right)$ ta có: $MN=AH\le AB\Rightarrow MN\le AB$. (đpcm)

L5: Lời giải

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Trong mặt phẳng (SAC) vẽ $OH\perp SC$ (hình trên).

Ta có $BD\perp AC$ và  nên $BD\perp \left(SAC\right)$, suy ra $BD\perp OH$.

Mặt khác $OH\perp SC$. Vậy OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD. Độ dài đoạn OH là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.

Hai tam giác vuông SAC và OHC đồng dạng vì có chung góc nhọn C.

Do đó $\frac{SA}{SC}=\frac{OH}{OC}\left(=\sin C\right)$.

Vậy $OH=\frac{SA.OC}{SC}$.

Ta có $SA=a,OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ , $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$ nên $OH=\frac{a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD là $OH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

d) Tổ chức thực hiện

3. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP, MỞ RỘNG VÀ TÌM TÒI KHÁM PHÁ

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Mục đích: Giúp học sinh củng cố, hoàn thiện kiến thức, kỹ năng vừa lĩnh hội được.

Nội dung, phương thức tổ chức:

- Chuyển giao:

Bài  tập : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABClà tam giác vuông, $AB=BC=a$, cạnh bên $AA’=a\sqrt{2}.$ Gọi M là trung điểm của BC.

1/ Tính khoảng cách từ điểm A' đến mặt phẳng (ABC)

2/ Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ.

3/ Tính khoảng cách giữa đường AA' đến $\left(BB’C’C\right).$

4/ Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng $\left(AB’C\right).$ Từ đó suy ra khoảng cách từ M đến (AB'C).

5/ Tính khoảng cách giữa đường thẳng BB' đến  mặt phẳng $\left(AA’C’C\right)$.

6/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.

-          Thực hiện:

+ Hỏi vấn đáp về tính chất của lăng trụ đứng. Học sinh nhớ lại kiến thức rồi trả lời.

+ Đại diện một học sinh lên vẽ hình trên bảng, các học sinh khác tự vẽ hình vào vở.

+ Hỏi vấn đáp hai ý đầu tiên.

+ Học sinh làm việc cá nhân, suy nghĩ và trả lời trước lớp.

+ Học sinh khác bổ sung.

+ Giáo viên chốt kiến thức, khắc sâu kiến thức cơ bản.

Chia lớp thành 4 nhóm nhỏ:

Nhóm 1: Tính khoảng cách giữa đường AA' đến $\left(BB’C’C\right).$

Nhóm 2: Tính khoảng cách từ B đến $\left(AB’C\right).$Tính khoảng cách từ M đến (AB'C)

Nhóm 3: Tính khoảng cách từ đường BB' đến $\left(AA’C’C\right).$

Nhóm 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.

+ Các nhóm thực hiện và viết kết quả vào bảng phụ.

-          Báo cáo, thảo luận:

+ Các nhóm trình bày sản phẩm của mình, báo cáo trước lớp.

+ Các nhóm khác phản biện và góp ý kiến.

-          Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

+ Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa câu trả lời, từ đó nêu nhận xét và tổng hợp.

+ So sánh hai  kết quả của nhóm 2 . (Giáo viên giải thích rõ cho học sinh).

+ Các khoảng cách (giữa đường với mặt, hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau)  đều có thể quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Sản phẩm: Các kết quả trên bảng phụ của học sinh.

4.HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, MỞ RỘNG

Mục tiêu: Giúp học sinh có thể vận dụng lí thuyết khoảng cách đã học áp dụng vào các bài toán thực tế và từ đó học sinh có thể giải thích được các hiện tượng, sự việc đã, đang diễn ra trong cuộc sống hiện tại.

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Giáo án Hai đường thẳng vuông góc

Giáo án Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Giáo án Hai mặt phẳng vuông góc

Giáo án Ôn tập chương 3

Giáo án Ôn tập cuối năm