Giáo án Cấp số cộng mới nhất - Toán 11

Nội dung

GV hướng dẫn, tổ chức học sinh ôn tập, tìm tòi các kiến thức liên quan bài học đã biết qua các câu hỏi

Chia nhóm học sinh thực hiện yêu cầu trong phiếu học tập số 1.

Sản phẩm

Câu trả lời của HS

1. Hiệu của các số hạng sau trừ số hạng liền trước bằng 2
2. Hiệu của các số hạng sau trừ số hạng liền trước bằng -3
3. Hiệu của các số hạng sau trừ số hạng liền trước thay đổi.
4. Hiệu của các số hạng sau trừ số hạng liền trước bằng 3.
5. Hiệu của các số hạng sau trừ số hạng liền trước bằng 0.
6. Hiệu của các số hạng sau trừ số hạng liền trước thay đổi.

Tổ chức thực hiện

Chuyển giao:

GV: tổ chức, giao nhiệm vụ

HS: Nhận

Thực hiện:

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn

HS cả lớp làm bài theo hướng dẫn

Báo cáo thảo luận:

 - GV gọi lần lượt 4 học sinh, lên bảng trình bày câu trả lời của mình đại diện cho bố nhóm (nêu rõ công thức tính trong từng trường hợp),

-  Các học sinh nhóm cùng công việc  nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.  Dẫn dắt vào bài mới.

Định nghĩa:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với số không đổi d.

- Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu $\left(u_n\right)$là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi: $u_{n+1}=u_n+d$, $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Đặc biệt: Khi $d=0$ thì cấp số cộng là dãy không đổi.

Ví dụ 1: Chứng minh dãy số: –15; –3; 9; 21; 33; 45 là cấp số cộng, tìm công sai.

Giải

$-3-\left(-15\right)$$=9-\left(-3\right)$$=21-9$$=33-21$$=45-33$$=12$.

Suy ra dãy số trên là cấp số cộng với công sai $d=12$.

Ví dụ 2: Chứng minh dãy số: $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{3n+2}{5}$, $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai.

Giải

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{3\left(n+1\right)+2}{5}-\frac{3n+2}{5}$$=\frac{3}{5}$.

Vậy $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng với $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=\frac{3}{5}\end{array}\right.$.

Chuyển giao

- GV yêu cầu 1 HS phát biểu định nghĩa cấp số cộng sau khi tham khảo SGK.

- Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1

Chứng minh dãy số: –15; –3; 9; 21; 33; 45 là cấp số cộng, tìm công sai.

PHIỂU HỌC TẬP SỐ 2

Chứng minh dãy số: $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{3n+2}{5}$, $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai.

Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.

Báo cáo thảo luận

- HS nêu bật được định nghĩa cấp số cộng.

- HS chỉ ra được cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng:

TH1: Khi dãy số đã cho viết dưới dạng liệt kê, hữu hạn các phần tử. Ta chứng minh: $u_2-u_1=u_3-u_2=\mathrm{...}=u_{n+1}-u_n$.

TH2: Khi dãy số đã cho viết dưới dạng công thức số hạng tổng quát. Ta xét hiệu: $u_{n+1}-u_n$, chứng minh hiệu trên có kết quả là số không đổi.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức và các bước chứng minh một dãy số là cấp số cộng, cách tìm số hạng đầu và công sai.

Bài toán 1:

a. Xếp 1 tầng cần 3 que xếp đế tháp

Xếp 2 tầng cần 7 que xếp đế tháp

Xếp 3 tầng cần 11 que xếp đế tháp

Xếp 4 tầng cần 15 que xếp đế tháp

Xếp 5 tầng cần 19 que xếp đế tháp

b. Giả sử để xếp n tầng thì cần $u_n$ que xếp tầng đế, khi đó ta có:

$u_1=3$

$u_2=u_1+4$

$u_3=u_2+4=u_1+2.4$

$u_4=u_3+4=u_1+3.4$

$u_5=u_4+4=u_1+4.4$

...

$u_{100}=u_{99}+4=u_1+99.4=3+99.4=399$

Định lý 1:

Nếu cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu u1d và công sai d thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức: $u_n=u_1+(n-1)d$, $n\ge 2$.

Ví dụ 3: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết số hạng đầu $u_1=-23$ , công sai d=11 .

a. Tìm số hạng thứ 17 của cấp số cộng.

b. Số 318 là số hạng thứ bao nhiêu?

Giải

a. Áp dụng công thức $u_n=u_1+(n-1)d,\text{ víi }n\ge 2$ suy ra: $u_{17}=-23+17.11=164$ 

b. Giả sử 318 là số hạng thứ n, khi đó: $318=-23+(n-1).11\Rightarrow n=32$ 

Chuyển giao

- GV yêu cầu HS quan sát hình vẽ (máy chiếu) ở bài toán.

- Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 trả lời câu a; Nhóm 3, 4 trả lời câu b.

- Tham khảo SGK, phát biểu định lý 1

Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận công thức tổng quát của cấp số cộng khi biết số hạng đầu và công sai.

Định lý 2:

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$, $\forall k\ge 2$.

Ví dụ 4: Ta có: $u_4=\frac{u_3+u_5}{2}=\frac{28}{2}=14$ 

$u_6=\frac{u_5+u_7}{2}=\frac{140}{2}=70$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=14\\ u_1+5d=70\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-70\\ d=28\end{array}\right.$.

Chuyển giao

- GV yêu cầu HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi H1 và ví dụ 4.

- Tham khảo SGK, trả lời định lý 1.

Thực hiện

- Học sinh suy nghĩ, trao đổi.

- Giáo viên quan sát việc thực hiện của học sinh, giải đáp thắc mắc của học sinh.

Báo cáo thảo luận

- Học sinh suy nghĩ và lên bảng trình bày.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận tính chất các số hạng của cấp số cộng.

Bài toán 2:

Gọi n là số năm ký hợp đồng làm việc với công ty A ($n>0$ )

Nếu ký hợp đồng theo phương án 1 thì tổng số tiền lương nhận được trong  năm là:

$S_1=n.36+\frac{n(n-1)}{2}.3=\frac{3n^2+69n}{2}$ 

Nếu ký hợp đồng theo phương án 2 thì tổng số tiền lương nhận được trong  năm là:

$S_2=4n.7+\frac{4n(4n-1)}{2}\mathrm{.0,5}=4n^2+27n$

Xét $S_1-S_2=\frac{3n^2+69n}{2}-(4n^2+27n)=\frac{-5n^2+15n}{2}$ 

$S_1-S_2>0\iff \frac{-5n^2+15n}{2}>0\iff 0<n<3$

Vậy nếu làm việc dưới 3 năm thì lựa chọn theo phương án 1, nếu làm việc

trên 3 năm thì lựa chọn phương án 2.

Định lý 3:

Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+\mathrm{....}+u_n$.

Khi đó $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}.d$ 

Chuyển giao

- Yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời bài toán 2

Thực hiện

- Học sinh suy nghĩ, trao đổi

- Giáo viên quan sát việc thực hiện của học sinh, giải đáp thắc mắc của học sinh.

Báo cáo thảo luận

- Dự kiến câu trả lời:

Phương án 1 hoặc phương án 2

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV kết luận để có lựa chọn đúng cần tìm hiểu công thức tính tổng  số hạng đầu của cấp số cộng

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

 GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ 

HS: 4 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. 

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2

HS: Nhận nhiệm vụ

Thực hiện

Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .

Báo cáo thảo luận

HS cử đại diện nhóm trình bày  sản phẩm vào tiết 54

 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. 

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.