Giáo án Vectơ trong không gian mới nhất - Toán 11

1. Định nghĩa:  Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Ký hiệu $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B.

Chú ý: + Vectơ còn được ký hiệu là :  $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{u},\stackrel{\rightharpoonup }{v},\stackrel{\rightharpoonup }{x},...$

+ Các khái niệm có liên quan đến vec tơ như: giá, độ dài , cùng phương……… tương tự như trong mặt phẳng.

Chuyển giao

GV: trình chiếu nội dung phiếu học tập số 1

Từ phiếu học tập số 1, nêu định nghĩa vectơ trong không gian và nhấn mạnh các khái niệm liên quan.

Sau đó trình chiếu nội dung ví dụ 1 giúp học sinh củng cố lại khái niệm vừa học.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn.

HS:  Đọc, nghe, nhìn, làm ( cách thức thực hiện: làm việc theo nhóm ví dụ 1)

Báo cáo thảo luận

 HS nêu được khái niệm vec tơ trong không gian, thấy được những khái niệm liên quan đến vec tơ như: giá, độ dài , cùng phương……… tương tự như trong mặt phẳng.

Thực hiện ví dụ 1 và ghi vào bảng phụ.

- Thuyết trình các bước thực hiện.

 - Các nhóm khác nhận xét hoàn thành sản phẩm.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức về khái niệm vectơ trong không gian.

2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian.

- Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ trong mặt phẳng.

- Khi thực hiện cộng vectơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vectơ trong hình phẳng.

Chuyển giao

GV: trình chiếu nội dung phiếu học tập số 2.

Từ phiếu học tập số 2, nêu định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai vectơ trong không gian.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn

HS: Đọc, nghe, nhìn, làm (cách thức thực hiện:làm việc theo nhóm ví dụ 2)

Báo cáo thảo luận

 HS nêu được khái niệm phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian. Thực hiện ví dụ 2 và ghi vào bảng phụ.

- Thuyết trình các bước thực hiện.

 - Các nhóm khác nhận xét hoàn thành sản phẩm.

Chú ý: Nhắc lại được các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành…

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

- Chốt kiến thức về các phép cộng và phép trừ vec tơ trong không gian. Dẫn dắt học sinh về phép toán nhân một số với một vec tơ.

b) Sản phẩm:

3. Quy tắc hình hộp.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’ và có đường chéo là AC’. Khi đó ta có quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}=\overrightarrow{AC\text{'}}$        

Chuyển giao

GV: trình chiếu nội dung phiếu học tập số 3, từ đó thiết lập quy tắc hình hộp tại đỉnh A. Cho hs phát biểu quy tắc hình hộp tại các đỉnh khác.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn

HS:  Đọc, nghe, nhìn, làm ( cách thức thực hiện:làm việc theo nhóm)

Báo cáo thảo luận

 HS nêu được khái niệm quy tắc hình bình hành. Từ đó thấy được quy tắc hình hộp.

Phát biểu được quy tắc hình hộp tại các đỉnh khác nhau của hình hộp:

trong hình hộp bất kì, vecto đường chéo xuất phát từ một đỉnh bằng tổng 3 vecto cạnh của hình hộp xuất phát từ cùng đỉnh đó.

Thực hiện ví dụ 3.

- Thuyết trình các bước thực hiện.

 - Các nhóm khác nhận xét hoàn thành sản phẩm.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

3. Phép nhân vectơ với một số.

- Định nghĩa tích của một vectơ với một số giống như trong mặt phẳng.

- Các tính chất của phép nhân vectơ với một số giống như trong hình học phẳng.

Ví dụ 4:

a)      Ta có:

$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})$

$=\frac{1}{2}\left(\right(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\left)\right)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$

b) Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}$

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}$

Cộng các đẳng thức theo vế ta có:  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\left(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=3\overrightarrow{AG}$

Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$.

Chuyển giao

GV: trình chiếu nội dung phiếu học tập số 4.

Từ phiếu học tập số 4, nêu định nghĩa phép nhân của vectơ với một số trong không gian.

Củng cố lại khái niệm thông qua ví dụ 4.

 HS: Nhận.

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn

HS:  Đọc, nghe, nhìn, làm (cách thức thực hiện: Hoạt động theo cá nhân, hoạt động theo nhóm nhỏ.)

Báo cáo thảo luận

 HS nêu được khái niệm phép nhân một số với một vectơ trong mặt phẳng, từ đó nêu được khái niệm phép nhân một số với một vectơ trong không gian.

Thực hiện được ví dụ 2 và ghi vào bảng phụ.

- Thuyết trình các bước thực hiện.

 - Các nhóm khác nhận xét hoàn thành sản phẩm.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

-Chốt lại về các phép toán vec tơ trong không gian.

Cho $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{c}\ne 0$. Từ một điểm O bất kì vẽ $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}=\stackrel{\rightharpoonup }{a}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=\stackrel{\rightharpoonup }{b}$, $\stackrel{\rightharpoonup }{OC}=\stackrel{\rightharpoonup }{c}$.

· Nếu OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ không đồng phẳng.

· Nếu OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói $\stackrel{\rightharpoonup }{a},\stackrel{\rightharpoonup }{b},\stackrel{\rightharpoonup }{c}$đồng phẳng.

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hay không đồng phẳng của ba vectơ không phụ thuộc vào vị trí điểm O.

Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Chuyển giao

GV: trình chiếu nội dung HĐ1.

Thông qua HĐ1 dẫn dắt học sinh vào khái niệm ba vec tơ đồng phẳng.

Củng cố lại khái niệm thông qua VD5, VD6.

HS: Nhận,

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn

HS:  Đọc, nghe, nhìn, làm ( cách thức thực hiện:Làm việc cá nhân hoặc theo nhóm nhỏ).

Báo cáo thảo luận

 HS nắm được khái niệm vec tơ đồng phẳng trong không gian.

Có được hình ảnh của 3 vectơ đồng phẳng trong không.

Thực hiện ví dụ 5 theo nhóm nhỏ và ghi vào bảng phụ.

Thực hiện ví dụ 6 theo cặp đôi.

- Thuyết trình các bước thực hiện.

 - Các nhóm khác nhận xét hoàn thành sản phẩm.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt lại kiến thức đồng phẳng của 3 vec tơ, từ đó dẫn dắt vào khái niệm sự đồng phẳng của 3 vec tơ trong không gian.

Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

 Định lý 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ trong đó $\overrightarrow{a}v\text{à\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là có các số m, n sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$. Hơn nữa các số m, n là duy nhất.

 Định lý 2: Trong không gian cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng. Khi đó, với mọi vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{x}$, ta tìm được các số m, n, p sao cho $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}$. Hơn nữa các số m, n, p là duy nhất.

Ví dụ 2:  Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AB và BC sao cho $\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{QC}$. Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng. 

Giải:

Từ hệ thức $\overrightarrow{PA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$ ta được:  $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MD}$.

   Tương tự, $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$.

   Từ hai hệ thức trên suy ra:  $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=-2\overrightarrow{MN}$.

   Vậy ba vectơ $\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{MN}$ đồng phẳng hay các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.  

Chuyển giao

GV: trình chiếu nội dung hoạt động 1 và hoạt động 2.

Củng cố lại nội dung định lý 1 và định lý 2 qua ví dụ 7 và ví dụ 8.

HS: Nhận  .

Thực hiện

GV: điều hành, quan sát, hướng dẫn

HS:  Đọc, nghe, nhìn, làm ( cách thức thực hiện: làm việc cá nhân và làm việc theo nhóm ví dụ 7 và ví dụ 8)

Báo cáo thảo luận

 Thực hiện hoạt động 2:Từ điểm đầu của vecto $\stackrel{\rightharpoonup }{c}$ ta dựng được  hai vecto $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ lần lượt cùng phương với 2 vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ sao cho $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$. Vecto $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ là duy nhất, lại do $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ lần lượt cùng phương với 2 vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ nên $\overrightarrow{x}=m\overrightarrow{a},\overrightarrow{y}=n\overrightarrow{b}$ từ đây ta có đpcm.

HS nêu được nêu được điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ trong không gian.

Thực hiện ví dụ 7 và ví dụ 8 theo nhóm và ghi vào bảng phụ.

- Thuyết trình các bước thực hiện.

 - Các nhóm khác nhận xét hoàn thành sản phẩm.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt lại điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ, các phương án chứng mình ba vec tơ đồng phẳng..

Chuyển giao

GV: Phát phiếu học tập 1. Cho học sinh thảo luận theo cặp đôi, hướng dẫn học sinh biến đổi, sử dụng các quy tắc để chứng minh đẳng thức vectơ, tìm điểm thỏa mãn yêu cầu.

HS: phối hợp theo cặp từng bàn, trao đổi cách làm

Thực hiện

- HS vẽ hình, thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi HS trình bày lời giải. Phân tích câu hỏi, hướng dẫn cách làm nếu các HS chưa hiểu nội dung, hoặc mắc sai lầm khi sử dụng các quy tắc về vectơ.

Báo cáo thảo luận

-Lần lượt chọn cùng lúc 2 học sinh đại diện lên bảng trình bày bài giải chi tiết từng bài tập .

  -HS còn lại theo dõi, so sánh, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- So sánh bài giải của 2 HS

-GV nhận xét thái độ, tinh thần làm việc, lời giải của các học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh làm bài tốt.

-Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Chuyển giao

GV: Phát phiếu học tập 2. Cho học sinh thảo luận theo cặp đôi, hướng dẫn học sinh biến đổi, sử dụng các quy tắc để phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

HS: phối hợp theo cặp từng bàn, trao đổi cách làm

Thực hiện

- HS vẽ hình, thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi HS trình bày lời giải. Phân tích câu hỏi, hướng dẫn cách làm nếu các HS chưa hiểu nội dung, hoặc mắc sai lầm khi sử dụng các quy tắc về vectơ.

Báo cáo thảo luận

-Lần lượt chọn đại diện 2 học sinh lên bảng trình bày bài giải chi tiết

  -HS còn lại theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- So sánh bài giải của các cặp đôi HS

- GV nhận xét thái độ, tinh thần làm việc, lời giải của các học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh làm bài tốt.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn học sinh về nhà giải quyết các vấn đề còn mắc phải.