Giáo án Phép đối xứng tâm mới nhất - Toán 11

Hình 2 nhận đường thẳng  làm trục đối xứng.

Hình 1; Hình 3 đối xứng nhau qua tâm của các hình.

I. Định nghĩa

Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M ¹ I thành M¢ sao cho I là trung điểm của đoạn MM¢ được gọi là phép đối xứng tâm I. Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

Kí hiệu: ${Đ}_I$.

· Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép ${Đ}_I$ thì ta nói H và H' đối xứng nhau qua tâm I.

· Nhận xét:

a) $M\text{'} = {Đ}_I\left(M\right) \iff \stackrel{\rightharpoonup }{IM\text{'}} = -\stackrel{\rightharpoonup }{IM}$

b) $M\text{'} = {Đ}_I\left(M\right) \iff M = {Đ}_I(M\text{'})$

Ví dụ 1: Cho điểm I và các điểm A, B, C. Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C qua phép ${Đ}_I$ ?

Hướng dẫn:

Chuyển giao

- GV trình chiếu hình vẽ 1.18; hình 1.21 SGK ® đặt vấn đề tìm tâm đối xứng của các hình vẽ từ đó phát biểu định nghĩa phép đối xứng tâm

- HS vẽ hình và tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm .

+ Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm theo định nghĩa.

+ Sử dụng tính chất của hình để tìm ảnh của điểm qua phép đối xứng tâm.

Thực hiện

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ

- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm

Báo cáo thảo luận

- Học sinh phát biểu được định nghĩa phép đối xứng tâm

 - GV gọi 2HS lên bảng trình bày lời giải cho VD1 và VD2

- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức định nghĩa phép đối xứng tâm

Dẫn dắt HS tìm hiểu biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

II. Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua gốc toạ độ

Trong mp Oxy, cho M(x; y).

Giả sử $M^{\text{'}}(x^{\text{'}};y^{\text{'}})=$ ${Đ}_O\left(M\right)$. $\iff \overrightarrow{O{M}^{\text{'}}}=-\overrightarrow{OM}\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=-x\\ y^{\text{'}}=-y\end{array}\right.$  

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ:$\left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=-x\\ y^{\text{'}}=-y\end{array}\right.$

Xét phép đối xứng tâm $I(a;b)$

Giả sử $M^{\text{'}}(x^{\text{'}};y^{\text{'}})=$  ${Đ}_I\left(M\right)$$\iff \overrightarrow{I{M}^{\text{'}}}=-\overrightarrow{IM}\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}-a=-(x-a)\\ y^{\text{'}}-b=-(y-b)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=2a-x\\ y^{\text{'}}=2b-y\end{array}\right.$

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua tâm I(a,b):$\left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=2a-x\\ y^{\text{'}}=2b-y\end{array}\right.$

 Ví dụ 2: Ảnh của điểm $M(-4;3)$  qua phép đối xứng tâm O là:

A.$M^{\text{'}}(4;-3)$                  B.  $M^{\text{'}}(3;-4)$            

C.$M^{\text{'}}(-3;4)$ .                D.$M^{\text{'}}(-4;-3)$ .

Hướng dẫn: chọn A

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có $M^{\text{'}}(4;-3)$ .

Chuyển giao

- GV yêu cầu học sinh viết đẳng thức véc tơ biểu thị mối quan hệ giữa M; M' và O.

Tương tự viết đẳng thức véc tơ biểu thị mỗi quan hệ giữa M; M' và I

- HS vẽ hình và từ đó tìm ra biểu thức tọa độ .

- Học sinh tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm.

Thực hiện

- HS thảo luận cặp đôi thực hiện nhiệm vụ

- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm

Báo cáo thảo luận

- Học sinh phát biểu được biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ và phép đối xứng tâm I bất kì

 - GV gọi 2HS đứng tại chỗ trình bày lời giải cho VD3 và VD4

- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức : biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Dẫn dắt HS tìm hiểu các tính chất của phép đối xứng tâm

III. Tính chất:

Tính chât 1: Nếu ${Đ}_I\left(M\right) = M\text{'}$ và ${Đ}_I\left(N\right) = N\text{'}$ thì $\overrightarrow{M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}=-\overrightarrow{MN}$  . Suy ra: $M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}=MN$

Nhận xét: Phép đối xứng bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

Tính chât 2: Phép đối xứng tâm biến:

      - Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

      - Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

      - Tam giác thành tam giác bằng nó.

      - Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ví dụ 5: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

A. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.  

B. Phép đối xứng tâm biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.                      

C. Phép đối xứng tâm biến tam giác thành tam giác bằng nó.

D. Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Đáp án: Chọn đáp án A

             Vì Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

H3: Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C') là ảnh của đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2=1$ qua phép đối xứng tâm $I\left(1;0\right)$  có bán kính bằng

A.$\sqrt{2}$ .                                                                  B.$3$ .                         

C.1  .                                                                      D.2  .

Đáp án: Chọn đáp án C

              Vì Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

  $\left(C\right):x^2+y^2=1$  có bán kính bằng 1. Nên đường tròn (C’) cũng có bán kính bằng 1.

Chuyển giao

- GV yêu cầu học sinh Chứng minh bài toán

Nhóm 1 - 2: làm câu a

Nhóm 3 - 4: làm câu b

- Học sinh hoạt động nhóm.

Thực hiện

- HS hoạt động nhóm.

- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn các nhóm hoạt động

Báo cáo thảo luận

- Học sinh phát biểu được tính chất 1 và 2.

 - GV gọi 2 HS đứng tại chỗ trình bày lời giải cho VD5 và VD6

- HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức : tính chất về phép đối xứng tâm

IV. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa: Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H  nếu phép đối xứng tâm I biến hình  H

thành chính nó.

 Nhận xét: Hình H có tâm đối xứng

Trả lời câu hỏi 1:

               Chữ cái H, N, O , I có tâm đối xứng

               Hình có vô số tam đối xứng:

                    + Hình gồm hai đường thẳng song song có vô số tâm đối xứng

                    + Đường thẳng có vô số tâm đối xứng

Ví dụ 7: Trong các hình sau, hình nào không có tâm đối xứng ?

A. Hình gồm một đường tròn và một tam giác đều nội tiếp.                    

B. Hình lục giác đều.                                           

C. Hình gồm một hình vuông và đường tròn nội tiếp.

D. Hình gồm một đường tròn và một hình chữ nhật nội tiếp.

Đáp án: Chọn đáp án A

             Vì tam giác đều không có tâm đối xứng.                

Chuyển giao

- GV yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi

- Học sinh hoạt động độc lập

Thực hiện

- HS dựa vào sgk trả lời câu hỏi

- GV theo dõi, hỗ trợ , hướng dẫn học sinh

- HS làm ví dụ 7.

Báo cáo thảo luận

   - Học sinh phát biểu được định nghĩa.

   - Học sinh tìm trong thực tế các hình có tâm đối xứng.

   -  HS làm câu ví dụ 7

   -  HS khác theo dõi, nhận xét, hoàn thiện sản phẩm

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức : Tâm đối xứng của một hình. Hình có tâm đối xứng.

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 6 nhóm. Phát phiếu học tập

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

 GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 6 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Chuyển giao

GV: Trình chiếu đề bài toán lên tivi

HS: Nhận nhiệm vụ

Thực hiện

HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu.

GV hướng dẫn cùng HS tìm lời giải

Báo cáo thảo luận

HS trình bày

HS khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.