Giáo án Phương pháp quy nạp toán học mới nhất - Toán 11

Với Giáo án Phương pháp quy nạp toán học mới nhất Toán lớp 11 được biên soạn bám sát sách Toán 11 giúp Thầy/ Cô biên soạn giáo án dễ dàng hơn.

1 1,318 18/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Giáo án Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Hiểu được nội dung của phương pháp qui nạp toán học dùng để chứng minh một mệnh đề liên quan đến số tự nhiên.

2. Năng lực

- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điềuchỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thựcsáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Kiến thức về một số phép toán liên quan tới số tự nhiên.

- Máy chiếu

- Bảng phụ

- Phiếu học tập

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu

- Biết phối hợp hoạt động nhóm

- Tạo hứng thú vào bài mới

b) Nội dung

GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tìm tòi các quy luật của bài toán quy nạp.

H1- Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11G(có 30 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt 5 bạn: Hoa, Nam, Lan, Hùng, Minh. Cả 5 bạn ấy đều học bài. Thầy kết luận: “Cả lớp 11G học bài”. Thầy kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không thì làm thế nào để có kết luận đúng?

H2- Xét mệnh đề chứa biến $P (n) :$ $" 2^{n} > n "$ với $n \in ℕ^{*}$ .

1) Với $n = 1,2,3,4$ thì P(n) đúng hay sai?

2) Với mọi $n \in ℕ^{*}$ thì P(n) đúng hay sai?

c) Sản phẩm:

Câu trả lời của HS

Kết quả 1:

Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 chưa chắc đều học bài.

Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp ( bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn).

Kết quả 2:

Với $n = 1 : 2^{1} > 1$ Đúng

$n = 2 : 2^{2} > 2$ Đúng

$n = 3 : 2^{3} > 3$ Đúng

Với n=5 thì mệnh đề P(n) đúng hay sai? Vậy với n là số nguyên dương thì mệnh đề P(n) đúng hay sai? Ta có Q(5) đúng và với mọi $n \in ℕ^{*}$ thì Q(n) cũng đúng.

d) Tổ chức thực hiện:

*) Chuyển giao nhiệm vụ : GV giao câu hỏi cho từng nhóm hoàn thành trước ở nhà, làm thành file trình chiếu, cử đại diện thuyết trình.

*) Thực hiện: HS chia nhóm học tập phân công thực hiện.

*) Báo cáo, thảo luận:

- GV gọi lần lượt 3 nhóm học sinh ( bốc thăm), mỗi nhóm cử đại diện lên bảng trình bày câu trả lời của mình.

- Các nhóm học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới.

2.HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

I. Phươngpháp quy nạp toán học

a) Mục tiêu: Phát biểu và giải thích được các bước để chứngminh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n luôn đúng mà không thể kiểm tra trực tiếp được.

b)Nội dung:

Bài toán 1: Xét hai mệnh đề $P (n) : " 3^{n} < n + 100 "$ và $Q (n) : " 2^{n} > n "$

a)Với $n = 1,2,3,4,5$ thì $P (n); Q (n)$ đúng hay sai?

b) Với mọi $n \in N^{*}$ thì $P (n); Q (n)$ đúng hay sai ?

1.Phương pháp quy nạp toán học ( Phương pháp quy nạp)

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq 1$ . ( Giả thiết quy nạp)

Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$

Bước 4: Kết luận mệnh đề đúng với mọi $n \in N^{*}$

c) Sản phẩm:

Bài toán 1.

a) Với mệnh đề $P (n) : " 3^{n} < n + 100 "$

Với $n = 1 : 3^{1} < 1 + 100$ Đúng; $n = 2 : 3^{2} < 2 + 100$ Đúng

$n = 3 : 3^{3} < 3 + 100$ Đúng; $n = 4 : 3^{4} < 4 + 100$ Đúng

$n = 5 : 3^{5} < 5 + 100$ mệnh đề sai

Với mệnh đề $Q (n) : " 2^{n} > n "$

Với $n = 1 : 2^{1} > 1$ Đúng; $n = 2 : 2^{2} > 2$ Đúng

$n = 3 : 2^{3} > 3$ Đúng; $n = 4 : 2^{4} > 4$ Đúng

$n = 5 : 2^{5} > 5$ là mệnh đề đúng

b) vì với n=5 thì $P (n)$ sai nên $P (n)$ không đúng với $\forall n \in N^{*}$

vì với n=5 thì Q(n) nên chưa kết luận được $Q (n)$ đúng hay sai .

GV: Vậy làm thể nào để biết Q(n) đúng hay sai $\forall n \in N^{*}$ . Ta kiểm tra tiếp với các giá trị khác của n ta vẫn thấy đúng nhưng ta không thể kiểm tra $\forall n \in N^{*}$ nên ta làm như sau:

Giả sử Q(n) đúng $n = k \geq 5$ tức là $2^{k} > k$ đúng $\forall k \in N^{*}, k \geq 5$

Xét mệnh đề $Q (n)$ với $n = k + 1$ : $2^{k + 1} > k + 1$ có $2^{k + 1} = {2.2}^{k} = 2^{k} + 2^{k} > k + 1$ vì $\{\begin{cases} 2^{k} > k \\ 2^{k} > 1 \end{cases}$ đúng.

Vậy ta có thể kết luận $Q (n) : " 2^{n} > n "$ đúng với $\forall n \in N^{*}$

Cách chứng minh trên ta gọi là quy nạp toán học hay phương pháp quy nạp (hay suy luận quy nạp)

HS: Phát biểu các bước quy nạp.

d) Tổ chức thực hiện

HĐTP1.

Chuyển giao	Trình chiếu nội dung câu hỏi 1, chia lớp thành 4 nhóm HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ, phân công các thành viên trong nhóm
Thực hiện	GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút HS: Đọc yêu cầu, trình bày nội dung câu trả lời trên bảng phụ
Báo cáo thảo luận	Nhóm 1 đại diện báo cáo sản phẩm, các nhóm còn lại kiểm tra chéo theo sơ đồ 1-2-3-4.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm ; đặt vấn đề chứng minh mệnh đề đúng . Hướng dẫn học sinh thực hiện.Cho học sinh phát biểu nội dung phương pháp quy nạp

II. Các ví dụ áp dụng

a) Mục tiêu: Biết thực hiện các bước quy nạp, rèn kỹ năng biến đổi biểu thức toán học, phát triển tư duy logic, khả năng sáng tạo, linh hoạt.

b)Nội dung:

VD1: Cho hai số $3^{n}$ và $8 n$ , $n \in ℕ^{*}$

a) So sánh hai số đó với $n = 1,2,3,4,5.$

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Chú ý:Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên $n \geq p (p \in ℕ)$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=p.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì $n = k \geq p$ , chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$

VD2: Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ , ta có: $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2} (*)$

VD3: Chứng minh rằng với $n \in ℕ^{*}$ thì $A_{n} = n^{3} - n (*)$ chia hết cho 3.

c) Sản phẩm:

Ví dụ 1.

HS: a) Với $n = 1,2$ thấy $3^{n} > 8 n$ là mệnh đề sai

Với $n = 3,4,5.$ thấy $3^{n} > 8 n$ là mệnh đề đúng

Suy đoán mệnh đề $3^{n} > 8 n$ đúng với $n \geq 3$ , $n \in ℕ^{*}$

GV: Hướng dẫn

CM: $3^{n} > 8 n$ với $n \geq 3$ , $n \in ℕ^{*}$ (*)

* Với $n = 3$ ta có 27 > 24

Vậy (*) đúng với n = 3.

* Giả sử (*) đúng với $n = k (k \geq 3)$ , tức là $3^{k} > 8 k$

Ta CM với $n = k + 1$ thì (*) cũng đúng, nghĩa là $3^{k + 1} > 8 (k + 1)$

Có $V T = 3^{k + 1} = 3^{k} .3 = {2.3}^{k} + 3^{k} > 8 k + 8 = 8 (k + 1)$ vì $\{\begin{cases} 3^{k} > 8 k \\ 3^{k} > 8 \end{cases} \forall k \geq 3; k \in N^{*}$

Do đó (*) đúng với $n = k + 1$ .

Vậy (*) đúng với mọi $n \geq 3$ , $n \in ℕ^{*}$ .

Ví dụ 2

* Với n = 1 thì VT = 1 = VP

Vậy hệ thức đúng với n = 1.

* Giả sử (*) đúng khi $n = k (k \geq 1)$ , tức là $1 + 3 + 5 + ... + (2 k - 1) = k^{2}$ đúng

Ta CM với $n = k + 1$ thì (*) cũng đúng, nghĩa là $1 + 3 + 5 + ... + (2 k - 1) + [2 (k + 1) - 1] = {(k + 1)}^{2}$

Ta có

$\begin{array}{l} 1 + 3 + 5 + ... + (2 k - 1) + [2 (k + 1) - 1] \\ = k^{2} + [2 (k + 1) - 1] = k^{2} + 2 k + 1 \\ = {(k + 1)}^{2} \end{array}$

Do đó (*) đúng với $n = k + 1$ .

Vậy (*) đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

Ví dụ 3

* Với n = 1 ta có $A_{1} = 0 ⋮ 3$

Vậy (*) đúng với n = 1.

* Giả sử (*) đúng với $n = k (k \geq 1)$ , tức là $A_{k} = (k^{3} - k) ⋮ 3$

Ta CM với $n = k + 1$ thì (*) cũng đúng, nghĩa là $A_{k + 1} = [{(k + 1)}^{3} - (k + 1)] ⋮ 3$

Thật vậy, ta có

$A_{k + 1} = {(k + 1)}^{3} - (k + 1)$ $\begin{array}{l} = k^{3} + 3 k^{2} + 3 k + 1 - k - 1 \\ = (k^{3} - k) + 3 (k^{2} + k) = A_{k} + 3 (k^{2} + k) \end{array}$

Theo giả thiết, $A_{k} = (k^{3} - k) ⋮ 3$ và $3 (k^{2} + k) ⋮ 3$ nên $A_{k + 1} ⋮ 3$

Do đó (*) đúng với $n = k + 1$ .

Vậy (*) đúng với mọi $n \in ℕ^{*}$ .

d) Tổ chứcthực hiện

HĐTP1:

Chuyển giao	Trình chiếu nội dung ví dụ 1,học sinh quan sát và đọc hiểu câu hỏi và trả lời
Thực hiện	HS thảo luận cá nhân 2 phút
Báo cáo thảo luận	Đại diện học sinh trả lời kết quả câu a và dự đoán ở câu b
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của cả lớp ; vấn đáp tại chỗ, hướng dẫn học sinh thực hiện các bước quy nạp, phát biểu chú ý. Yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động thành phần 2

HĐTP2

Chuyển giao	GV : trình chiếunội dung ví dụ 2 và ví dụ 3, chia lớp thành 4 nhóm, nhóm 1,3 là ví dụ 2 ; nhóm 2,4 làm ví dụ 3 HS: Nghe, quan sát và nhận nhiệm vụ
Thực hiện	GV: Cho học sinh thảo luận 5 phút HS: Hoàn thành yêu cầu vào bảng phụ
Báo cáo thảo luận	Đại diện nhóm 1,2 báocáo kết quả nhóm 3,4 kiểm tra chéo sản phẩm của nhau
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV : Nhận xét thái độ làm việc, kết quả đạt được của các nhóm và củng cố bài dạy

3. HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: HS biết áp dụng các kiến thức về phương pháp quy nạp toán học vào các bài tập cụ thể trong sách giáo khoa và các bài tập trắc nghiệm cụ thể.

b) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1 HS: Nhận nhiệm vụ,
Thực hiện	GV: Điều hành, quan sát, hỗ trợ. HS: 4 nhóm tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.
Báo cáo thảo luận	Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận. Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo.

4. HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết những vấn đề thực tế trong cuộc sống, những bài toán thực tế…

b) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao	GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2. HS: Nhận nhiệm vụ.
Thực hiện	Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .
Báo cáo thảo luận	HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau. Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.
Đánh giá, nhận xét, tổng hợp	GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất. - Chốt kiến thức tổng thể trong bài học. - Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.

Ngày ...... tháng ....... năm 2021

TTCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Giáo án Dãy số

Giáo án Cấp số cộng

Giáo án Cấp số nhân

Giáo án Ôn tập chương 3

Giáo án Ôn tập học kì 1

1 1,318 18/08/2022

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3