Giáo án Cấp số nhân mới nhất - Toán 11

Giáo án Toán 11 Bài 4: Cấp số nhân

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

– Hiểu rõ khái niệm về cấp số nhân.

– Nắm được công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân.

– Nắm vững tính chất của cấp số nhân.

– Biết tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

– Biết vận dụng cấp số nhân vào một số bài toán thực tiễn (ví dụ: một số vấn đề trong Sinh học, trong Giáo dục dân số,..).

2. Năng lực

 - Năng lực tự học: Học sinh luôn chủ động, tích cực thực hiện những công việc của bản thân khi được GV giao nhiệm vụ trong học tập.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Phân tích được tình huống trong học tập, trong cuộc sống; phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống. Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: HS làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập, trong cuộc sống hành ngày; hợp tác nhóm, trưởng nhóm phải biết phân công nhiệm vụ cho từng thành viên của nhóm, các thành viên của nhóm phải ý thức được nhiệm vụ và hoàn thành nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Hoàn thiện khả năng lắng nghe, phân tích và tiếp thu ý kiến của người khác

- Năng lực hợp tác: HS xác định rõ nhiệm vụ của nhóm và trách nhiệm của bản thân trong quá trình hoạt động

 - Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Trách nhiệm: Không đổ lỗi cho người khác, có ý thức và tìm cách khắc phục thiếu sót của bản thân; quan tâm đến các công việc chung. Tìm hiểu và chấp hành những quy định chung của tập thể; tránh những hành vi vi phạm kỷ luật.

- Chăm chỉ: Tích cực học tập, rèn luyện để chuẩn bị cho nghề nghiệp tương lai. Luôn cố gắng vươn lên đạt kết quả tốt trong học tập. Ham học hỏi, thích đọc sách để mở rộng hiểu biết.

- Trung thực: Thật thà, thẳng thắn trong học tập, lao động và sinh hoạt hằng ngày; mạnh dạn nói lên ý kiến của mình. Luôn giữ lời hứa; mạnh dạn nhận lỗi, sửa lỗi và bảo vệ cái đúng, cái tốt.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

    - Kiến thức về cấp số nhân  

    - Máy chiếu

    - Bảng phụ

    - Phiếu học tập

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1.HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu

Giúp học sinh xác định được nhiệm vụ cụ thể cần giải quyết trong bài học.

b) Nội dung

 GV hướng dẫn, tổ chức học sinh tìm tòi các kiến thức liên quan bài học.

H1- Hãy tính số hạt thóc trên sáu ô đầu tiên trên bàn cờ vua.

H2- Nếu xem số hạt thóc trên các ô bàn cờ vua là các số hạng của một dãy số thì các số hạng của dãy số có quy tắc gì?

H3- Có thể khái quát quy tắc trên bằng phép nhân được hay không?

c) Sản phẩm

Câu trả lời của HS

L1- Số hạt thóc trên sáu ô đầu tiên trên bàn cờ vua là: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

L2- Quy tắc đó là: Các số hạng, từ số hạng thứ hai trở đi đều gấp đôi số hạng đứng ngay trước nó.

L3- Có thể khái quát quy tắc trên bằng phép nhân với một số không đổi.

d) Tổ chức thực hiện

*) Chuyển giao nhiệm vụ: Giới thiệu bài toán cổ Ấn độ: Bàn cờ vua

Tục truyền rằng nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ vua được lụa chọn một phần thưởng tùy thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số hạt thóc đặt lên 64 ô của bàn cò vua như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ 1 hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai 2 hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối cùng.

*) Thực hiện:  Học sinh tính số thóc trên các ô đầu tiên và thấy được sự liên quan của số thóc trên các ô liên tiếp nhau, hình thành phương pháp xác định số hạt thóc ở mỗi ô trong bàn cờ và tìm hiểu nội dung bài học để trả lời được câu hỏi tại sao nhà vua không có đủ số thóc để thưởng cho nhà thông thái. 

*) Báo cáo, thảo luận:  

- HS trả lời nhanh các câu hỏi của giáo viên.

-  Các học sinh khác nhận xét, bổ sung để hoàn thiện câu trả lời.

*) Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:

- Học sinh tham gia tích cực và trình bày hướng để giải quyết vấn đề.

- Dẫn dắt vào bài mới.

 Đặt vấn đề: - Làm thế nào để tính được số thóc ở các ô liên tiếp nhau và tính được số hạt thóc đặt lên 64 ô của bàn cờ vua?

2. Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới

Hoạt động 2.1: Tìm hiểu định nghĩa và tính chất của cấp số nhân

a) Mục tiêu: Học sinh biết được khái niệm cấp số nhân

b) Nội dung:

- Học sinh làm việc nhóm

I. Định nghĩa và tính chất của cấp số nhân

a. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q (q gọi là công bội).

- Nếu ($u_n$) là cấp số nhân với công bội q thì ta có công thức: $u_{n+1}=u_n.q$ với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

b. Tính chất

Định lí 1:Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$  với $k\ge 2$  hay $\left|u_k\right|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}$  

c. Đặc biệt

Khi q = 0, cấp số nhân có dạng $u_1;0;0;0;\mathrm{....}$

Khi q = 1, cấp số nhân có dạng $u_1;u_1;u_1;u_1;\mathrm{...};u_1;\mathrm{...}$

Khi $u_1=0$ thì với mọi 1, cấp số nhân có dạng $0;0;0;0;\mathrm{....}$

- Đáp án ví dụ 1:

a. $u_1=3;q=2$

b. $u_1=7;q=0$

c. $u_1=1;q=1$

d. $u_1=0;q$

e. Không là cấp số nhân

- Đáp án câu hỏi 1,2

Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ = hằng số thì $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân có công bội q.

d) Tổ chức thực hiện

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ

- Giáo viên chia lớp làm 4 nhóm.  Nhóm 1, nhóm 2 hoàn thành phiếu học tập số 1. Nhóm 3,4 hoàn thành phiếu học tập số 2.

- Giáo viên đưa ra ví dụ và yêu cầu học sinh làm việc cá nhân.

- Giáo viên đưa ra câu hỏi 1, 2 và cho học sinh làm việc cá nhân.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ

- Các nhóm thảo luận, đưa ra các câu trả lời trong phiếu học tập số 1 và số 2. Viết câu trả lời vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu rõ.

- Các nhóm nộp sản phẩm cho giáo viên.

- Học sinh suy nghĩ làm ví dụ.

- Học sinh suy nghĩ trả lời câu hỏi 1, câu hỏi 2.

Bước 3: Báo cáo,thảo luận

- Với mỗi phiếu học tập, giáo viên chọn 1 nhóm treo bảng phụ và thuyết trình, yêu cầu nhóm còn lại nhận xét.

- Học sinh các nhóm còn lại đặt câu hỏi cho nhóm phụ trách phiếu học tập.

- Giáo viên gọi học sinh ở từng nhóm làm ví dụ, mối học sinh làm một phần.

- Giáo viên gọi học sinh trả lời câu hỏi 1, 2.

Bước 4: Kết luận, nhận định

Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên kết luận: Định nghĩa và tính chất của cấp số nhân.

Hoạt động 2.2: Tìm hiểu số hạng tổng quát của cấp số nhân

a) Mục tiêu

Học sinh biết công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

b) Nội dung

- Học sinh quan sát câu chuyện vui : “Cuộc mua bán kì lạ giữa nhà tỉ phú và nhà toán học” và thảo luận theo nhóm trả lời câu hỏi.

?1: Nếu coi cuộc mua bán giữa nhà toán học và nhà tỉ phú là một dãy số mà mỗi số hạng trong dãy số là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học. Dãy số này có phải là một cấp số nhân không?

?2: Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ 5?

?3: Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ 20?

?4: Hãy tính số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n?

- Học sinh làm ví dụ 2:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ biết

a. $u_1=\mathrm{2,}q=5.$ Tính $u_9$ ?

b. $u_3=\mathrm{1,}q=2.$  Tính $u_{10}$?

c. $u_1=\mathrm{3,}q=-\frac{1}{2}.$ Hỏi $\frac{3}{256}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?

c) Sản phẩm

- Đáp án các câu hỏi trong câu chuyện vui

?1: Coi $u_1=500$

$u_2=1.000=500\times 2=u_1\times 2$

$u_3=2.000=1000\times 2=u_2\times 2$

$u_4=4.000=2000\times 2=u_3\times 2$

Vậy dãy số đó là 1 cấp số nhân có số hạng đầu , công bội q=2

?2: $u_5=8.000$

?3: $u_{20}={500.2}^{19}$

?4: $u_n={500.2}^{n-1}=u_1.q^{n-1}$

- Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân

II. Số hạng tổng quát

Định lí 2: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$ được xác định bởi công thức:   $u_n=u_1\cdot q^{n-1},n\ge 2$    .

- Đáp án ví dụ 2.

            a. $u_9={2.5}^8$

            b. $u_3=u_1.q^2\iff 1=u_1{.2}^2\iff u_1=\frac{1}{4}$

           $\Rightarrow u_{10}=u_1.q^9=\frac{1}{4}{.2}^9=2^7$

 c. $u_n=u_1.q^{n-1}\iff \frac{3}{256}=3.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\iff \frac{1}{256}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\iff 8=n-1\iff n=9$

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ

- Giáo viên chiếu câu chuyện vui (hoặc dùng bảng phụ) cho học sinh quan sát câu chuyện và các câu hỏi. Cho học sinh 4 nhóm cùng trả lời các câu hỏi.

- Giáo viên đưa ra ví dụ 2.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ

- Học sinh thảo luận, đưa ra câu trả lời, viết câu trả lời vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm.

- Học sinh suy nghĩ cá nhân làm ví dụ 2

Bước 3: Báo cáo,thảo luận

- Các nhóm nộp sản phẩm. Giáo viên treo bảng phụ và gọi một học sinh bất kì của nhóm đó giải thích câu trả lời.

- Học sinh giải thích câu trả lời. Các học sinh ở nhóm khác nhận xét.

- Giáo viên gọi 3 học sinh lên bảng làm ví dụ 2. Học sinh lên bảng. Các học sinh khác nhận xét, bổ sung.

Bước 4: Kết luận, nhận định

Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên kết luận công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Hoạt động 2.4: Tìm hiểu tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

a) Mục tiêu:

Học sinh biết công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

b) Nội dung:

- Học sinh hoàn thành

III. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Định lí 3

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với công bội $q\ne 1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+\mathrm{....}+u_n$.

Khi đó $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

- Đáp án ví dụ 3:

            a. $S_{20}=\frac{500\left(1-2^{20}\right)}{1-2}=\mathrm{524.287.500}$

            b. $S_{20}=\mathrm{10.000.000}\times 20=\mathrm{200.000.000}$

            c. Vậy nhà toán học có lãi

d) Tổ chức thực hiện:

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ

- Giáo viên cho 4 nhóm hoàn thành phiếu học tập số 3.

- Giáo viên cho học sinh 4 nhóm làm ví dụ 3.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ

- Học sinh thảo luận, đưa ra câu trả lời, viết câu trả lời vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm.

- Học sinh các nhóm thảo luận, tìm câu trả lời cho ví dụ 3.

Bước 3: Báo cáo,thảo luận

- Các nhóm nộp sản phẩm. Giáo viên chọn sản phẩm của 1 nhóm để treo, và gọi thành viên nhóm khác nhận xét.

- Các học sinh đặt câu hỏi để hiểu bài hơn.

- Nhóm nào nhanh nhất, lên bảng trình bày ví dụ 3.

Bước 4: Kết luận, nhận định

Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên kết luận đưa ra định lí 3.

3. HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP

Hoạt động 3.1: Học sinh thực hành theo nhóm và trả lời phiếu học tập.

a) Mục tiêu:

Giúp HS củng cố kiến thức, phân biệt được cấp số cộng và cấp số nhân. HS biết áp dụng các kiến thức về cấp số nhân vào các bài tập cụ thể. HS thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK.

b) Tổ chức thực hiện

 Hoạt động 3.2: Học sinh thực hành cá nhân.

a) Mục tiêu:

HS biết áp dụng các kiến thức về cấp số nhân. HS thực hiện được cơ bản các dạng bài tập về cấp số nhân.

b) Tổ chức thực hiện

4. HOẠT ĐỘNG 4:  VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu:

Giải quyết một số bài toán ứng dụng cấp số nhân trong thực tế. Ngoài các ứng dụng trong thực tế, cấp số nhân còn được sử dụng để tích hợp liên môn với các bộ môn như Địa lí, Sinh học, Vật lý....

b) Tổ chức thực hiện

Ngày   ......   tháng   .......    năm 2021

                                                                       TTCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Giáo án Phương pháp quy nạp toán học

Giáo án Dãy số

Giáo án Cấp số cộng

Giáo án Ôn tập chương 3

Giáo án Ôn tập học kì 1