Giáo án Một số phương trình lượng giác thường gặp mới nhất - Toán 11

Với Giáo án Một số phương trình lượng giác thường gặp mới nhất Toán lớp 11 được biên soạn bám sát sách Toán 11 giúp Thầy/ Cô biên soạn giáo án dễ dàng hơn.

1 2,677 18/08/2022
Tải về


Giáo án Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

- Củng cố định nghĩa và phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản.

- Nắm được khái niệm và phương pháp giải các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx.

- Biết giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác; biết biến đổi một số phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất, bậc hai đổi với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx, phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx  nhờ các công thức lượng giác.

2. Năng lực

- Năng lực tự chủ và tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra và khắc phục sai sót.

- Năng lực giao tiếp và hợp tác: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp. Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực giải quyết vấn đề Toán học: Phát hiện ra các bài toán thực tế liên quan đến phương trình lượng giác thường gặp.

- Năng lực sử dụng các công cụ Toán học: Sử dụng các phần mềm toán học để giải phương trình lượng giác.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học: Chuyển bài toán thực tế về bài toán giải phương trình lượng giác.

3. Phẩm chất

- Chăm học: Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Trung thực:  Năng động, trung thực, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

­- Trách nhiệm: Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác; có trách nhiệm cao trong quá trình làm việc nhóm.

II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU

- Sách giáo khoa, bảng phụ, phiếu học tập, máy chiếu.

III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC

1. HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU

a) Mục tiêu: Giới thiệu bài toán thực tế dẫn đến nhu cầu giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

b) Nội dung: GV hướng dẫn, tổ chức cho HS tìm tòi các bài toán thực tế liên quan đến nhu cầu giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác.

c) Sản phẩm:

Dự kiến câu trả lời của HS

Nhóm 1- Mùa xuân ở hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) thường có trò chơi đu. Khi người chơi đu nhún đều , cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động qua lại vị trí cân bằng. Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (tính bằng mét) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (t0 và tính bằng giây) bởi hệ thức h=d với d=3cosπ32t1. Ta quy ước rằng d>0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d<0 trong trường hợp trái lại.

Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Tài liệu VietJack

Lời giải

Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi 3cosπ32t1=±3

Ta có: 3cosπ32t1=±3sinπ32t1=0π32t1=kπ,k

Vì 0t2 nên k0;1

+ Với k=0 thì t=12

+ Với k = 1 thì t = 2

Vậy trong 2 giây đầu tiên người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm 12 giây và 2 giây.

Nhóm 2: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m ; trục của nó đặt cách mặt nước 2m . Khi guồng quay đều , khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo cao công thức h=y, trong đó

y=2+2,5sin2πx14

Với x là thời gian quay của guồng x0, tính bằng phút; ta quy ước rằng y>0khi gầu ở trên mặt nước và y<0 khi gầu ở dưới nước. Hỏi

a) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất?

b) Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất?

Tài liệu VietJack         Tài liệu VietJack

Lời giải

a) Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi

 sin2πx14=12πx14=π2+k2πx=kk

Vậy chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút, 1 phút, 2 phút,…

b) Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi

sin2πx14=12πx14=π2+k2πx=12+k  k

Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0.5 phút, 1.5 phút, 2.5 phút,…

d) Tổ chức thực hiện:

Chuyển giao

GV nêu nhiệm vụ cho HS về nhà tìm hiểu phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và các bài toán thực tế liên quan.

Thực hiện

HS về nhà tìm hiểu các bài toán thực tế liên quan đến phương trình bậc nhất với hàm số lượng giác tìm hiểu được

Báo cáo

Báo cáo dưới hình thức powerpoint

+ Bài toán thực tế:

+ Đưa ra phương trình bậc nhất đối với lượng giác để giải quyết bài toán.

Đánh giá, nhận xét

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới: Trong thực tế, còn có rất nhiều các tình huống đưa đến việc chúng ta phải giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác.

2. HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI

I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, giải được các phương trình này và phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

b) Nội dung: GV yêu cầu học sinh đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau

H1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn? Từ đó suy ra định nghĩa phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác?

H2. Nêu cách giải phương trình bậc nhất một ẩn? Từ đó áp dụng giải các phương trình sau:

a) 2sinx3=0

b)3tanx+1=0

H3. Từ cách giải các phương trình trên đưa ra cách giải tổng quát cho phương trình bậc  nhất đối với một hàm số lượng giác? Áp dụng giải các phương trình sau:

a) 3cosx+5=0                    

b) 3cotx3=0

H4. Gợi ý hướng giải cho hai phương trình sau:

a) 5cosx2sin2x=0

b) 8sinx.cosx.cos2x=1

c) Sản phẩm:

1. Định nghĩa 

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng  at+b=0.

trong đó a,b là các hằng số a0 và t là một trong các hàm số lượng giác.

HĐ 1 (SGK tr 29) Giải các phương trình

a) 2sinx3=0sinx=32 suy ra  phương trình đã cho vô nghiệm.

b)3tanx+1=0tanx=13x=π6+kπ, k.

2. Cách giải  Đưa phương trình bậc nhất về phương trình lượng giác cơ bản để giải với a0 ta có at+b=0t=ba.

Ví dụ 2

a) 3cosx+5=0cosx=53<1 nên phương trình vô nghiệm.              

b) 3cotx3=0cotx=3x=π6+kπ, k.

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Cách giải: Dùng các công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10 để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác và giải.

Ví dụ 3

a) 5cosx2sin2x=05cosx4sinx.cosx=0cosx54sinx=0cosx=0sinx=54   loai

cosx=0x=π2+kπ,k.

b) 8sinx.cosx.cos2x=14sin2x.cos2x=12sin4x=1x=π24+kπ2x=7π24+kπ2,  k.

 d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

- GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi  đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

Thực hiện

- HS thảo luận nhóm 2 bàn  thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách giải phương trình bậc nhất đối với một lượng giác và phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài và yêu cầu hs dưới lớp nhận xét bài làm, chính xác hóa bài làm cho bạn.

- Hs làm bài và nhận xét bài bạn

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV bổ sung, kết luận.

II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được khái niệm phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác, giải được các phương trình này và phương trình lượng giác đưa về bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

b) Nội dung: GV yêu cầu học sinh đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau

H1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn? Từ đó suy ra định nghĩa phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác? Cho ví dụ?

H2. Nêu cách giải phương trình bậc hai một ẩn? Từ đó áp dụng giải các phương trình sau:

a) 3cos2x5cosx+2=0

b) 3tan2x23tanx+3=0

H3. Từ cách giải các phương trình trên đưa ra cách giải tổng quát cho phương trình bậc hai  đối với một hàm số lượng giác? Áp dụng giải  phương trình sau:

2sin2x2+2sinx22=0

H4. Nhắc lại các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng.

H5. Gợi ý hướng giải cho ba phương trình sau:

a) 6cos2x+5sinx2=0

b) 3tanx6cotx+233=0

c) 2sin2x5sinxcosxcos2x=2

c) Sản phẩm:

1. Định nghĩa 

 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng  at2+bt+c=0.

trong đó a,b,c là các hằng số a0 và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ 4

a) 3cos2x5cosx+2=0

Đặt t=cosx, điều kiện 1t1.

Ta đưa phương trình về dạng: 3t25t+2=0t=1t=23 (thỏa mãn điều kiện)

+) Với t=1cosx=1x=k2π,k.

+) Với t=1cosx=1x=k2π,k.

Đáp án x=k2π;x=±arccos23+k2π, k.

b) 3tan2x23tanx+3=0

Đặt t=tanx ta đưa phương trình về dạng: 3t223t+3=0, phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

2. Cách giảiĐặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình lượng giác theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản..

Ví dụ 5

2sin2x2+2sinx22=0

Đặt sinx2=t  điều kiện 1t1 ta được phương trình bậc hai theo t là

2t2+2t2=0t=22t=2   (loai)

Với t=22sinx2=22 x=π2+k4πx=3π2+k4π  k..

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Cách giải: Dùng các công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10, nhất là công thức góc nhân đôi để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác và giải.

Ví dụ

a) 6cos2x+5sinx2=06sin2x+5sinx+4=0x=π6+k2πx=7π6+k2π  k

b) 3tanx6cotx+233=0

Điều kiện của phương trình là sinx0cosx0sinx.cosx0sin2x0xkπ2,  k .

Với điều kiện trên thì tanx.cotx0

Đặt tanx=tcotx=1t ta đưa phương trình về :

3t61t+233=03t2+233t6=0t=3t=2 (thỏa mãn điều kiện)

Suy ra tanx=3tanx=2x=π3+kπx=arctan2+kπ k

c) 2sin2x5sinxcosxcos2x=2

TH1: Nếu cosx=0sin2x=1 thay vào phương trình ta có: 2.15.00=22=2 (vô lí)

TH2: Nếu cosx0 chia cả hai vế cho cos2x ta có

2sin2x5sinxcosxcos2x=22sin2xcos2x5sinxcosxcos2xcos2xcos2x=2cos2x

2tan2x5tanx1=21+tan2x4tan2x5tanx+1=0tanx=1tanx=14 x=π4+kπx=arctan14+kπ k

 

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

- GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi  đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

Thực hiện

- HS thảo luận nhóm 2 bàn  thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách giải phương trình bậc hai đối với một lượng giác và phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài và yêu cầu hs dưới lớp nhận xét bài làm, chính xác hóa bài làm cho bạn.

- Hs làm bài và nhận xét bài bạn

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV bổ sung, kết luận.

 

III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a) Mục tiêu: Học sinh nắm được công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx, biết áp dụng công thức biến đổi này để giải phương trình dạng asinx+bcosx=c.

b) Nội dung: GV yêu cầu học sinh đọc SGK và trả lời các câu hỏi sau

H1. Nêu các công thức cộng lượng giác, dựa vào các công thức cộng lượng giác đã học chứng minh rằng

a) sinx+cosx=2cosxπ4

b) sinxcosx=2sinxπ4

H2. Từ chứng minh trên hay đưa ra công thức tổng quát với biểu thức asinx+bcosx

H3. Từ đó đưa ra phương pháp giải phương trình asinx+bcosx=c

H4. Áp dụng giải các phương trình sau:

a) sinx+3cosx=1

b) 3sin3xcos3x=2

c) Sản phẩm:

1. Công thức biến đổi biểu thức asinx+bcosx

 Nhắc lại các công thức cộng

cos(ab)=cosa.cosb+sina.sinbcos(a+b)=cosa.cosbsina.sinbsin(ab)=sina.cosbcosa.sinbsin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb 

Với a2+b20 có asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx

aa2+b22+ba2+b22=1 nên có một góc α  sao cho

aa2+b2=cosα,ba2+b2=sinα

Khi đó        asinx+bcosx=a2+b2(sinxcosα+cosxsinα)  =a2+b2sin(x+α)

Vậy ta có công thức sau asinx+bcosx=a2+b2sin(x+α)   (1)

                    với  cosα=aa2+b2,sinα=ba2+b2

2. Phương trình dạng asinx+bcosx=c.

Xét phương trình        asinx+bcosx=c với a,b,c, a2+b20.

Theo biến đổi trên có asinx+bcosx=csin(x+α)=ca2+b2.

Đây là phương trình lượng giác cơ bản, phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi ca2+b21c2a2+b2.

Ví dụ 9 Giải phương trình

a) sinx+3cosx=1

Chia cả hai vế cho 12+32=2 ta có

12.sinx+32cosx=1sinx.cosπ3+cosx.sinπ3=12

sinx+π3=12x+π3=π6+k2πx+π3=ππ6+k2πx=π6+k2πx=π2+k2π  k

b) 3sin3xcos3x=2

Chia cả hai vế cho 32+12=2 ta có

32.sin3x12cos3x=22sin3x.cosπ6cos3x.sinπ6=22

sin3xπ6=223xπ6=π4+k2π3xπ6=3π4+k2πx=5π36+k2π3x=11π36+k2π3  k

 

d) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

- GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi  đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

Thực hiện

- HS thảo luận nhóm 2 bàn  thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách chứng minh và biến đổi biểu thức asinx+bcosx. Áp dụng để giải bài tập đã giao.

- Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài và yêu cầu hs dưới lớp nhận xét bài làm, chính xác hóa bài làm cho bạn.

- Hs làm bài và nhận xét bài bạn

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV bổ sung, kết luận.

3. HOẠT ĐỘNG 3:  LUYỆN TẬP

a) Mục tiêu: Giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải một số phương trình lượng giác thường gặp

b) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1

HS: Nhận nhiệm vụ

Thực hiện

 GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

HS  Đọc, nghe, nhìn, làm ( cách thức thực hiện: cá nhân/cặp/nhóm)

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

 

4. HOẠT ĐỘNG 4:  VẬN DỤNG.

a) Mục tiêu:

Vận dụng kiến thức về phương trình lượng giác thường gặp  để giải quyết các vấn đề liên quan thực tế cuộc sống.

b) Tổ chức thực hiện

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết của bài

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .

Báo cáo thảo luận

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau

 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.

Ngày ...... tháng ....... năm 2021
TTCM ký duyệt

Xem thêm các bài Giáo án Toán lớp 11 hay, chi tiết khác:

Giáo án Hàm số lượng giác

Giáo án Phương trình lượng giác cơ bản

Giáo án Ôn tập chương 1

Giáo án Quy tắc đếm

Giáo án Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

1 2,677 18/08/2022
Tải về


Xem thêm các chương trình khác: