Giáo án Một số phương trình lượng giác thường gặp mới nhất - Toán 11

Chuyển giao

GV nêu nhiệm vụ cho HS về nhà tìm hiểu phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác và các bài toán thực tế liên quan.

Thực hiện

HS về nhà tìm hiểu các bài toán thực tế liên quan đến phương trình bậc nhất với hàm số lượng giác tìm hiểu được

Báo cáo

Báo cáo dưới hình thức powerpoint

+ Bài toán thực tế:

+ Đưa ra phương trình bậc nhất đối với lượng giác để giải quyết bài toán.

Đánh giá, nhận xét

- GV đánh giá thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tổng hợp kết quả.

- Dẫn dắt vào bài mới: Trong thực tế, còn có rất nhiều các tình huống đưa đến việc chúng ta phải giải phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác.

1. Định nghĩa 

 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng  $at+b=0$.

trong đó a,b là các hằng số $\left(a\ne 0\right)$ và t là một trong các hàm số lượng giác.

HĐ 1 (SGK tr 29) Giải các phương trình

a) $2\sin x-3=0\iff \sin x=\frac{3}{2}$ suy ra  phương trình đã cho vô nghiệm.

b)$\sqrt{3}\tan x+1=0$$\iff \tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$\iff x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

2. Cách giải  Đưa phương trình bậc nhất về phương trình lượng giác cơ bản để giải với $\left(a\ne 0\right)$ ta có $at+b=0\iff t=-\frac{b}{a}$.

Ví dụ 2

a) $3\cos x+5=0$$\iff \cos x=-\frac{5}{3}<-1$ nên phương trình vô nghiệm.              

b) $\sqrt{3}\cot x-3=0$$\iff \cot x=\sqrt{3}$$\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Cách giải: Dùng các công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10 để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác và giải.

Ví dụ 3

a) $5\cos x-2\sin 2x=0$$\iff 5\cos x-4\sin x.\cos x=0$$\iff \cos x\left(5-4\sin x\right)=0$$\iff \left[\begin{array}{l}\cos x=0\\ \sin x=\frac{5}{4}\left(loai\right)\end{array}\right.$

$\iff \cos x=0$$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $8\sin x.\cos x.\cos 2x=-1$$\iff 4\sin 2x.\cos 2x=-1$$\iff 2\sin 4x=-1$$\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}\end{array}\right.,k\in \mathbb{Z}.$

Chuyển giao

- GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi  đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

Thực hiện

- HS thảo luận nhóm 2 bàn  thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách giải phương trình bậc nhất đối với một lượng giác và phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

- Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài và yêu cầu hs dưới lớp nhận xét bài làm, chính xác hóa bài làm cho bạn.

- Hs làm bài và nhận xét bài bạn

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV bổ sung, kết luận.

1. Định nghĩa 

 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng  $a{t}^2+bt+c=0$.

trong đó $a,b,c$ là các hằng số $\left(a\ne 0\right)$ và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ 4

a) $3{\cos }^{2}x-5\cos x+2=0$

Đặt $t=\cos x$, điều kiện $-1\le t\le 1$.

Ta đưa phương trình về dạng: $3t^2-5t+2=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{2}{3}\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

+) Với $t=1\Rightarrow \cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

+) Với $t=1\Rightarrow \cos x=1\iff x=k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Đáp án $x=k2\pi ;x=\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $3{\tan }^{2}x-2\sqrt{3}\tan x+3=0$

Đặt $t=\tan x$ ta đưa phương trình về dạng: $3t^2-2\sqrt{3}t+3=0$, phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho cũng vô nghiệm.

2. Cách giảiĐặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình lượng giác theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản..

Ví dụ 5

$2{\sin }^2\frac{x}{2}+\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}-2=0$

Đặt $\sin \frac{x}{2}=t$  điều kiện $-1\le t\le 1$ ta được phương trình bậc hai theo t là

$2t^2+\sqrt{2}t-2=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ t=-\sqrt{2}\left(loai\right)\end{array}\right.$

Với $t=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+k4\pi \\ x=\frac{3\pi }{2}+k4\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$..

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Cách giải: Dùng các công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10, nhất là công thức góc nhân đôi để đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác và giải.

Ví dụ

a) $6{\cos }^{2}x+5\sin x-2=0$$\iff -6{\sin }^{2}x+5\sin x+4=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) $\sqrt{3}\tan x-6\cot x+2\sqrt{3}-3=0$

Điều kiện của phương trình là $\left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \sin x.\cos x\ne 0\iff \sin 2x\ne 0\iff x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ .

Với điều kiện trên thì $\tan x.\cot x\ne 0$

Đặt $\tan x=t\Rightarrow \cot x=\frac{1}{t}$ ta đưa phương trình về :

$\sqrt{3}t-6\frac{1}{t}+2\sqrt{3}-3=0\iff \sqrt{3}{t}^2+\left(2\sqrt{3}-3\right)t-6=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\sqrt{3}\\ t=-2\end{array}\right.$ (thỏa mãn điều kiện)

Suy ra $\left[\begin{array}{l}\tan x=\sqrt{3}\\ \tan x=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\arctan \left(-2\right)+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

c) $2{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=-2$

TH1: Nếu $\cos x=0\Rightarrow {\sin }^{2}x=1$ thay vào phương trình ta có: $2.1-5.0-0=-2\iff 2=-2$ (vô lí)

TH2: Nếu $\cos x\ne 0$ chia cả hai vế cho ${\cos }^{2}x$ ta có

$2{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=-2$$\iff 2\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-\frac{5\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{-2}{{\cos }^{2}x}$

$\iff 2{\tan }^{2}x-5\tan x-1=-2\left(1+{\tan }^{2}x\right)$$\iff 4{\tan }^{2}x-5\tan x+1=0$$\iff \left[\begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=\frac{1}{4}\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \frac{1}{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Chuyển giao

- GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi  đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

Thực hiện

- HS thảo luận nhóm 2 bàn  thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách giải phương trình bậc hai đối với một lượng giác và phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài và yêu cầu hs dưới lớp nhận xét bài làm, chính xác hóa bài làm cho bạn.

- Hs làm bài và nhận xét bài bạn

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV bổ sung, kết luận.

1. Công thức biến đổi biểu thức $a\sin x+b\cos x$

 Nhắc lại các công thức cộng

$\begin{array}{l}\cos (a-b)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b\\ \cos (a+b)=\cos a.\cos b-\sin a.\sin b\\ \sin (a-b)=\sin a.\cos b-\cos a.\sin b\\ \sin (a+b)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b\end{array}$ 

Với $a^2+b^2\ne 0$ có $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$

Vì ${\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2+{\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2=1$ nên có một góc α  sao cho

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \alpha ,\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sin \alpha$

Khi đó        $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}(\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha )$  $=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha )$

Vậy ta có công thức sau $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\alpha )$   (1)

                    với  $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

2. Phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$.

Xét phương trình        $a\sin x+b\cos x=c$ với $a,b,c\in ℝ$, $a^2+b^2\ne 0$.

Theo biến đổi trên có $a\sin x+b\cos x=c\iff \sin (x+\alpha )=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Đây là phương trình lượng giác cơ bản, phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi $\left|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\le 1\iff c^2\le a^2+b^2$.

Ví dụ 9 Giải phương trình

a) $\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

Chia cả hai vế cho $\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2$ ta có

$\frac{1}{2}.\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=1$$\iff \sin x.\cos \frac{\pi }{3}+\cos x.\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$$\iff \left[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) $\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=\sqrt{2}$

Chia cả hai vế cho $\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=2$ ta có

$\frac{\sqrt{3}}{2}.\sin 3x-\frac{1}{2}\cos 3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\iff \sin 3x.\cos \frac{\pi }{6}-\cos 3x.\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\iff \left[\begin{array}{l}3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Chuyển giao

- GV đưa ra các câu hỏi để học sinh suy nghĩ và trả lời rồi chính xác hóa lại các câu hỏi  đó.

- HS: Tiếp thu định nghĩa, trả lời các câu hỏi. Thực hiện ví dụ củng cố.

Thực hiện

- HS thảo luận nhóm 2 bàn  thực hiện nhiệm vụ.

- GV quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm chưa hiểu nội dung các vấn đề nêu ra.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm hoàn thiện câu trả lời về cách chứng minh và biến đổi biểu thức $a\sin x+b\cos x$. Áp dụng để giải bài tập đã giao.

- Giáo viên gọi học sinh lên bảng làm bài và yêu cầu hs dưới lớp nhận xét bài làm, chính xác hóa bài làm cho bạn.

- Hs làm bài và nhận xét bài bạn

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, GV bổ sung, kết luận.

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1

HS: Nhận nhiệm vụ

Thực hiện

 GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

HS  Đọc, nghe, nhìn, làm ( cách thức thực hiện: cá nhân/cặp/nhóm)

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết của bài

HS: Nhận nhiệm vụ.

Thực hiện

Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .

Báo cáo thảo luận

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau

 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.