Giáo án Dãy số mới nhất - Toán 11

Chuyển giao

- GV yêu cầu học sinh đứng tại chỗ trả lời.

- HS nhớ lại kiến thức đã học và làm bài

Thực hiện

- HS trả lời câu hỏi, học sinh dưới lớp lắng nghe và bổ sung nếu cần.

- GV viết và chuẩn hóa câu trả lời của học sinh lên bảng

Báo cáo thảo luận

 - Sau khi các học sinh làm xong bài GV gọi HS dưới lớp nhận xét và chữa bài trên bảng nếu cần

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

 - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh. Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Chốt kiến thức và các bước thực hiện

Phiếu học tập số 1

Cho hàm số $u\left(n\right)=n^2-3$, $n\in N^{*}$. Tính u(1), u(2), u(3), u(4), u(5).

I. Định nghĩa

1. Định nghĩa dãy số. Cho hàm số $u:{\mathbb{N}}^{*}\to ℝ$

                                                         $n\mapsto u\left(n\right)$

Hàm số u được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u(n) trong đó $u_n=u\left(n\right)$. 

$u_1$: số hạng đầu

$u_n$: số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Dạng khai triển của dãy số u(n): $u_1,u_2,u_3\mathrm{,...,}{u}_n\mathrm{,...}$

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn. Mỗi hàm số u xác định trên tập $M=\left\{\mathrm{1,2,3,...,}m\right\}$ $\left(m\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ được gọi là dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là $u_1,u_2,u_3\mathrm{,...,}{u}_m$ trong đó $u_1$ là số hạng đầu, $u_m$ là số hạng cuối.

Ví dụ 1

Dãy các số chính phương $\mathrm{1,4,9,16,25,....}$ có số hạng đầu $u_1=1$, số hạng tổng quát $u_n=n^2$             

Dãy số hữu hạn $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32}$ có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$, số hạng cuối $u_5=\frac{1}{32}$.

Chuyển giao

 Chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 1; Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 2. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận:

Tập hợp các giá trị tương ứng của u(n) được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của n trong tập ${\mathbb{N}}^{\ast }$: u(1), u(2), u(3), u(4), u(5),… tạo thành một dãy số.

Với mỗi số nguyên dương n, ta có $v\left(n\right)={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$, công thức này xác định một hàm số với biến là số tự nhiên. 

Như vậy, ta thấy có một sự tương ứng giữa một hàm số với biến tự nhiên với một dãy các số thực trong hai phiếu học tập trên. Vì thế, ta có thể coi dãy số là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương.

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, chuyển giao nhiệm vụ mới, HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên.

Phiếu học tập số 3

Cho các dãy số sau:

$\left(u_n\right):u_n={\left(-3\right)}^n$,     $\left(v_n\right):\left\{\begin{array}{l}{u}_1=u_2=1\\ u_n=u_{n-1}+u_{n-2},n\ge 3\end{array}\right.$,       $\left(w_n\right):$ Dãy các số nguyên tố.

1) Hãy viết 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số trên?

2) Với k là số tự nhiên cho trước, ta có thể xác định được số hạng thứ k của mỗi dãy trên hay không?

II. Cách cho một dãy số

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

$\left(u_n\right):u_n=f\left(n\right),n\in N^{*}$

Ví dụ 2. $\left(u_n\right):u_n=\frac{n}{\sqrt{n}+1}$

2. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)

- Cho số hạng thứ nhất $u_1$  (hoặc một vài số hạng đầu)

- Với $n\ge 2$, cho công thức tính $u_n$ nếu biết $u_{n-1}$ (hoặc một vài số hạng đứng ngay trước nó).

Công thức truy hồi thường gặp là

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1=a\\ u_n=f\left(u_{n-1}\right),n\ge 2\end{array}\right.$, $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=a,u_2=b\\ u_n=f\left(u_{n-1},u_{n-2}\right),n\ge 3\end{array}\right.$

3. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ: 1) Dãy các số nguyên dương nhỏ hơn 10 và chia hết cho 3 là: 3, 6, 9.

2) Dãy các số chính phương lớn hơn 10 và nhỏ hơn 50 là: 16, 25, 36, 49.

Chuyển giao

 Chia lớp thành 4 nhóm. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Mỗi dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó. Với k là số tự nhiên cho trước ta luôn xác định được số hạng thứ k của mỗi dãy trên. Do đó, các dãy số đã cho ở trên là hoàn toàn xác định và ta nói u(n) là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát, v(n) là dãy số cho bằng phương pháp truy hồi, w(n) là dãy số cho bằng phương pháp mô tả.

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, chuyển giao nhiệm vụ mới, HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên.

Phiếu học tập số 4

Cho dãy số $\left(u_n\right):u_n=1+\frac{1}{n}$

a) Tính $u_{n+1}$?

b) Xét dấu $u_{n+1}-u_n$, từ đó hãy so sánh $u_{n+1}$ và $u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$?

IV. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

a) Định nghĩa 

u(n) là dãy số tăng $\iff$$u_{n+1}>u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

u(n) là dãy số giảm $\iff$$u_{n+1}<u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Các dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu.

b) Phương pháp xét tính đơn điệu của dãy số

Phương pháp 1. Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$

- Nếu $u_{n+1}-u_n>0$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

     $\Rightarrow$$u_{n+1}>u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$$\Rightarrow$ u(n) là dãy số tăng

- Nếu $u_{n+1}-u_n<0$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

    $\Rightarrow$$u_{n+1}<u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$$\Rightarrow$ u(n) là dãy số giảm

Phương pháp 2. Nếu $u_n>0$ $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì lập tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ rồi so sánh với 1

- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}>\mathrm{1,}$$\forall n\in N^{*}$$\Rightarrow$$u_{n+1}>u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

     $\Rightarrow$ u(n) là dãy số tăng

- Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$$\forall n\in N^{*}$$\Rightarrow$$u_{n+1}<u_n$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

    $\Rightarrow$ u(n) là dãy số giảm

Ví dụ 3. Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau

a) $\left(u_n\right):u_n=2n-1$

b) $\left(v_n\right):v_n=\frac{n}{3^n}$

c) $\left(u_n\right):u_n={\left(-3\right)}^n$

Chú ý. Có những dãy số không tăng, không giảm, chẳng hạn $\left(u_n\right):u_n={\left(-3\right)}^n.$

2. Dãy số bị chặn

Định nghĩa

u(n) bị chặn trên $\iff \exists M$: $u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

u(n) bị chặn dưới $\iff m$: $u_n\le m,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

u(n)bị chặn $\iff \exists M,m$: $m\le u_n\le M,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Ví dụ 4

a) Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì $u_n\ge 1$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

b) Dãy số $\left(u_n\right):u_n=\frac{n}{n^2+1}$ bị chặn vì $0<u_n\le \frac{1}{2}$, $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Ví dụ 5. Trong các dãy số u(n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

a) $u_n=2n^2-1$            b) $u_n=\frac{1}{n\left(n+2\right)}$          c) $u_n=\sin n+\cos n$    d) $u_n=\frac{1}{2n^2-1}$

Chuyển giao

 Học sinh nhận phiếu học tập. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 4; Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 5. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Học sinh nhận phiếu học tập. Nhóm 1, 2 hoàn thành Phiếu học tập số 6; Nhóm 3, 4 hoàn thành Phiếu học tập số 7. Các nhóm nhận phiếu học tập và viết câu trả lời vào bảng phụ.

Thực hiện

- Các nhóm thảo luận đưa ra các phương án trả lời cho các câu hỏi trong phiếu học tập. Viết kết quả vào bảng phụ.

- Giáo viên quan sát, theo dõi các nhóm. Giải thích câu hỏi nếu các nhóm không hiểu nội dung các câu hỏi.

Báo cáo thảo luận

- Các nhóm HS treo bảng phụ viết câu trả lời cho các câu hỏi. Đại diện các nhóm trình bày.

- HS quan sát các phương án trả lời của các nhóm bạn.

- HS đặt câu hỏi cho các nhóm bạn để hiểu hơn về câu trả lời.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm, ghi nhận và tuyên dương nhóm có câu trả lời tốt nhất. Động viên các nhóm còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo.

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Dãy số u(n) được gọi là dãy số tăng, dãy số v(n) được gọi là dãy số giảm.

- Trên cơ sở câu trả lời của HS, GV kết luận: Dãy số u(n) được gọi là bị chặn trên, dãy số v(n) được gọi là bị chặn dưới.

- GV chốt kiến thức, kiểm tra lại sự nắm bắt kiến thức của HS, hoàn thành ví dụ 3 và chuyển giao nhiệm vụ mới. HS ghi chép, thực hiện các yêu cầu mới của giáo viên.

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 1

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

 GV: điều hành, quan sát, hỗ trợ

HS: 4 nhóm  tự phân công nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực hiện nhiệm vụ. Ghi kết quả vào bảng nhóm.

Báo cáo thảo luận

Đại diện nhóm trình bày kết quả thảo luận

Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ tiếp theo

Chuyển giao

GV: Chia lớp thành 4 nhóm. Phát phiếu học tập 2 cuối tiết  của bài

HS: Nhận nhiệm vụ,

Thực hiện

Các nhóm HS thực hiện tìm tòi, nghiên cứu và làm bài ở nhà .

Báo cáo thảo luận

HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau

 Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ra ý kiến phản biện để làm rõ hơn các vấn đề.

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp

GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của các nhóm học sinh, ghi nhận và tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt nhất.

- Chốt kiến thức tổng thể trong bài học.

- Hướng dẫn HS về nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức đã học bằng sơ đồ tư duy.