Giải Toán 7 trang 75 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 trang 75 Tập 2

Thực hành 2 trang 75 Toán 7 Tập 2:

Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.

 

Hãy tính các tỉ số:

a) $\frac{GM}{AM}$;                       b) $\frac{GM}{AG}$;                       c) $\frac{AG}{GM}$.

Lời giải:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Khi đó: GM = AM - AG = AM - $\frac{2}{3}$AM = $\frac{1}{3}$AM.

Do đó $\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}$.

b) Ta có GM = $\frac{1}{3}$AM và AG = $\frac{2}{3}$AM.

Suy ra GM : AG = $\frac{1}{3}$AM : $\frac{2}{3}$AM = $\frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$.

c) Vì $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{AG}{GM}$ = 2.

Vận dụng 2 trang 75 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Lời giải:

 

Theo đề bài, O là trung điểm của BC nên AO là đường trung tuyến của ∆ABC, DO là đường trung tuyến của ∆DBC.

Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên I nằm trên AO sao cho AI = $\frac{2}{3}$ AO.

Vì J là trọng tâm của ∆DBC nên J nằm trên DO sao cho DJ = $\frac{2}{3}$DO.

Mà OA và OD là hai tia đối nhau nên A, I, O, J, D thẳng hàng.

Vì AI = $\frac{2}{3}$AO nên OI = $\frac{1}{3}$AO.

Vì DJ = $\frac{2}{3}$DO nên OJ = $\frac{1}{3}$DO.

Ta có AO = DO và ba điểm I, O, J thẳng hàng.

Suy ra IJ = OI + OJ = $\frac{1}{3}$AO + $\frac{1}{3}$DO = $\frac{2}{3}$AO.

Khi đó AI = $\frac{2}{3}$AO, IJ = $\frac{2}{3}$AO, DJ = $\frac{2}{3}$AO.

Do đó AI = IJ = JD.

B. Bài tập

Bài 1 trang 75 Toán 7 Tập 2:

Quan sát Hình 8. Thay $\boxed{?}$ bằng số thích hợp.

 

EG = $\boxed{?}$EM;          GM = $\boxed{?}$EM;            GM = $\boxed{?}$EG;

FG = $\boxed{?}$GN;            FN = $\boxed{?}$ GN;            FN = $\boxed{?}$FG.

Lời giải:

Trên Hình 8 có: M và N lần lượt là trung điểm của HF và HE.

Suy ra HF và HE là hai đường trung tuyến của ∆EHF

Mà HF và HE cắt nhau tại G.

Nên G là giao điểm hai đường trung tuyến của ∆EFH.

Do đó G là trọng tâm của ∆EFH.

Khi đó:

• EG = $\frac{2}{3}$EM nên GM = EM - EG = EM - $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{3}$EM.

Suy ra GM : EG = $\frac{1}{3}$EM : $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{2}$ hay GM = $\frac{1}{2}$EG.

• FG = $\frac{2}{3}$FN nên GN = FN - FG = FN - $\frac{2}{3}$FN = $\frac{1}{3}$FN.

Suy ra FG : GN = $\frac{2}{3}$FN : $\frac{1}{3}$FN = 2 hay FG = 2GN.

Do GN = $\frac{1}{3}$FN nên FN = 3GN.

Do FG = $\frac{2}{3}$FN nên FN = $\frac{3}{2}$FG.

Ta điền như sau:

EG = $\frac{2}{3}$EM; GM = $\frac{1}{3}$EM; GM = $\frac{1}{2}$EG;

FG = 2GN; FN = 3GN; FN = $\frac{3}{2}$FG.

Bài 2 trang 75 Toán 7 Tập 2:

Quan sát Hình 9.

 

a) Biết AM = 15 cm, tính AG.

b) Biết GN = 6 cm, tính CN.

Lời giải:

a) Ta có G là giao điểm hai đường trung tuyến của ∆ABC nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó AG = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{2}{3}$ . 15 = 10 (cm).

Vậy AG = 10 cm.

b) Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên GN = $\frac{1}{3}$CN.

Do đó CN = 3GN = 3.6 = 18 (cm).

Vậy CN = 18 cm.

Bài 3 trang 75 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng AF = 2FI.

Lời giải:

Note: Đề chưa chính xác.

Đề đúng:

“Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng AF = 2FI.”

 

a) Xét ∆BMG và ∆CME có:

MG = ME (giả thiết);

$\widehat{BMG}=\widehat{CME}$ (đối đỉnh);

BM = CM (do M là trung điểm của BC).

Do đó ∆BMG = ∆CME (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BGM}=\widehat{CEM}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BG // EC.

b) Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên AG = 2GM.

Ta có ME = GM và G, M, E thẳng hàng nên GE = GM + ME = 2GM.

Suy ra AG = GE nên G là trung điểm của AE.

Xét ∆ABE có hai đường trung tuyến AI và BG cắt nhau tại F nên F là trọng tâm của ∆ABE.

Do đó AF = 2FI.

Bài 4 trang 75 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Lời giải:

 

a) Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Ta có BM và CN là các đường trung tuyến của ∆ABC.

Nên M và N là lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Khi đó AN = $\frac{1}{2}$AB; AM = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AN = AM.

Xét ∆AMB và ∆ANC có:

AM = AN (chứng minh trên);

$\widehat{MAN}$ là góc chung;

AB = AC (chứng minh trên).

Do đó ∆AMB = ∆ANC (c.g.c).

Suy ra BM = NC (hai cạnh tương ứng).

b) Ta có ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra AI đi qua trung điểm của BC.

Mà AI cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 7 trang 73 Tập 2

Giải Toán 7 trang 74 Tập 2

Giải Toán 7 trang 75 Tập 2

Giải Toán 7 trang 76 Tập 2