Giải các phương trình sau: 4^x=căn (2 . căn 2)

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 6

Bài 4 trang 25 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $4^x=\sqrt{2\sqrt{2}}$;

b) 9^5x = 27^{x – 2};

c) ${\log }_{81}x=\frac{1}{2}$;

d) ${\log }_{\frac{1}{2}}(3x+1)={\log }_{\frac{1}{2}}(4x-1)$;

e) ${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$;

g) ${\log }_{x}8=\frac{3}{4}$.

Lời giải:

a) $4^x=\sqrt{2\sqrt{2}}={\left(\sqrt{8}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(8^{\frac{1}{2}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(8\right)}^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=8^{\frac{1}{4}}$

Khi đó $4^x=8^{\frac{1}{4}}\Rightarrow x={\log }_4{8}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}{\log }_{4}8=\frac{3}{8}$.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $\frac{3}{8}$.

b) 9^5x = 27^{x – 2} ⇒ 3^10x = 3^{3(x – 2)};

10x = 3(x – 2) => 7x = – 6 => x = $-\frac{6}{7}$.

Vậy phương trình có nghiệm là x = $-\frac{6}{7}$.

c) Điều kiện x > 0

Ta có ${\log }_{81}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x={81}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{81}=9$.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 9.

d) Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}3x+1>0\\ 4x-1>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>-\frac{1}{3}\\ x>\frac{1}{4}\end{array}\right.\Rightarrow x>\frac{1}{4}$.

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với

${\log }_{\frac{1}{2}}(3x+1)={\log }_{\frac{1}{2}}(4x-1)$

⇔ 3x + 1 = 4x – 1

⇔ x = 2 (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

e) ${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$

Điều kiện xác định $\left\{\begin{array}{l}x-2>0\\ x+2>0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x>2\\ x>-2\end{array}\right.\Rightarrow x>2$

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với

${\log }_5(x-2)+{\log }_5(x+2)=1$

$\iff {\log }_5(x+2)(x-2)=1$

$\iff {\log }_5(x^2-4)=1$

⇔ x² – 4 = 5 ⇔ x² = 9

$\iff x=\sqrt{9}=3$ (nhận) hoặc $x=-\sqrt{9}=-3$ (loại)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3.

g) ${\log }_{x}8=\frac{3}{4}$

$\iff {\log }_x{2}^3=\frac{3}{4}$

$\iff 3{\log }_{x}2=\frac{3}{4}$

$\iff {\log }_{x}2=\frac{1}{4}$

$\iff 2=x^{\frac{1}{4}}$

$\iff 2^4={\left(x^{\frac{1}{4}}\right)}^4\iff x=16$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 16.