Giải Toán 8 trang 72 Kết nối tri thức

Giải Toán 8 trang 72

Bài 3.30 trang 72 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Lời giải:

a) Tứ giác AEDF có AE // DF; AF // DE (giả thiết).

Suy ra tứ giác AEDF là hình bình hành.

b) Hình bình hành AEDF là hình thoi khi AD là tia phân giác của góc A.

Mà tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của BC.

Ngược lại, nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC cân tại A thì hình bình hành AEDF có đường chéo AD là đường phân giác của góc A nên AEDF là hình thoi.

c) Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).

d) Tam giác ABC vuông cân tại A tức là vừa vuông tại A vừa cân tại A.

Theo câu c, nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật AEDF là hình vuông thì tức nó cũng là hình thoi.

Theo câu b, AEDF là hình thoi nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì để AEDF là hình vuông thì điểm D là trung điểm của BC.

Bài 3.31 trang 72 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Lời giải:

Giả sử có hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Ta cần chứng minh EFGH là hình thoi. Thật vậy:

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC.

H là trung điểm của AD nên AH = DH = $\frac{1}{2}$AD ;

F là trung điểm của BC nên BF = CF = $\frac{1}{2}$BC

Do đó AH = DH = BF = CF.

Xét $∆$AHE và $∆$BFE có:

$\widehat{HAE}=\widehat{FBE}=90°$;

AE = BE (do E là trung điểm của AB);

AH = BF (chứng minh trên).

Do đó $∆$AHE = $∆$BFE (hai cạnh góc vuông)

Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, ta cũng có:

• $∆$BEF = $∆$CGF (hai cạnh góc vuông), suy ra EF = GF (hai cạnh tương ứng).

• $∆$CGF = $∆$DGH (hai cạnh góc vuông), suy ra GF = GH (hai cạnh tương ứng).

Từ đó ta có EF = FG = GH = HE

Do đó tứ giác EFHG là hình thoi.

Bài 3.32 trang 72 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Giả sử có hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật. Thật vậy:

Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Do E, H lần lượt là trung điểm của AB, AD nên AH = DH = AE = BE.

Tam giác AHE có AH = AE nên là tam giác cân tại A, suy ra $\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$ .

Mà $\widehat{HAE}+\widehat{AHE}+\widehat{AEH}=180°$

Suy ra $\widehat{AHE}=\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}$ .

Tương tự, ta có tam giác DHG cân tại D nên $\widehat{DHG}=\frac{180°-\widehat{HDG}}{2}$

Mặt khác, do ABCD là hình thoi nên AB // CD, suy ra $\widehat{HAE}+\widehat{HDG}=180°$

Khi đó $\widehat{AHE}+\widehat{DHG}=\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}+\frac{180°-\widehat{HDG}}{2}$

$=\frac{180°-\widehat{HAE}+180°-\widehat{HDG}}{2}$

$=\frac{360°-\left(\widehat{HAE}+\widehat{HDG}\right)}{2}=\frac{360°-180°}{2}=90°$

Mà $\widehat{AHE}+\widehat{DHG}+\widehat{EHG}=180°$

Suy ra $\widehat{EHG}=180°-\left(\widehat{AHE}+\widehat{DHG}\right)=180°-90°=90°$

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có $\widehat{HEF}=\widehat{EFG}=\widehat{FGH}=90°$.

Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Bài 3.33 trang 72 Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 36 cm. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Biết rằng MA ⊥ MD. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD (H.3.56).

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, MI = $\frac{AD}{2}$ mà M là trung điểm của BC nên MI = AB.

Suy ra AB = $\frac{AD}{2}$ nên AD = 2AB.

Mà AB + AD = $\frac{36}{2}$ = 18 (cm).

Suy ra AB + 2AB = 18

Hay 3AB = 18

Do đó AB = 6 (cm).

Suy ra AD = 2AB = 2 . 6 = 12 (cm).

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABCD là AB = CD = 6 cm; AD = BC = 12 cm.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 8 trang 67

Giải Toán 8 trang 68

Giải Toán 8 trang 69

Giải Toán 8 trang 70

Giải Toán 8 trang 71

Giải Toán 8 trang 72