Bài 3.32 trang 72 Toán 8 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài 14: Hình thoi và hình vuông

Bài 3.32 trang 72 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải:

Giả sử có hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật. Thật vậy:

Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Do E, H lần lượt là trung điểm của AB, AD nên AH = DH = AE = BE.

Tam giác AHE có AH = AE nên là tam giác cân tại A, suy ra $\widehat{AHE}=\widehat{AEH}$ .

Mà $\widehat{HAE}+\widehat{AHE}+\widehat{AEH}=180°$

Suy ra $\widehat{AHE}=\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}$ .

Tương tự, ta có tam giác DHG cân tại D nên $\widehat{DHG}=\frac{180°-\widehat{HDG}}{2}$

Mặt khác, do ABCD là hình thoi nên AB // CD, suy ra $\widehat{HAE}+\widehat{HDG}=180°$

Khi đó $\widehat{AHE}+\widehat{DHG}=\frac{180°-\widehat{HAE}}{2}+\frac{180°-\widehat{HDG}}{2}$

$=\frac{180°-\widehat{HAE}+180°-\widehat{HDG}}{2}$

$=\frac{360°-\left(\widehat{HAE}+\widehat{HDG}\right)}{2}=\frac{360°-180°}{2}=90°$

Mà $\widehat{AHE}+\widehat{DHG}+\widehat{EHG}=180°$

Suy ra $\widehat{EHG}=180°-\left(\widehat{AHE}+\widehat{DHG}\right)=180°-90°=90°$

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có $\widehat{HEF}=\widehat{EFG}=\widehat{FGH}=90°$.

Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.