Giải Toán 7 trang 82 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 trang 82 Tập 2

Bài 2 trang 82 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.

Lời giải:

GT	$∆$ABC cân tại A, Trung tuyến AM, Tia phân giác của góc B cắt AM tại I.
KL	CI là tia phân giác của góc C.

 

+) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.

Lại có AM là đường trung tuyến (giả thiết) do đó MB = MC (M là trung điểm của BC)

Xét ∆ABM và ∆ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ 

+) Tam giác ABC có AM, BI là hai đường phân giác cắt nhau tại I

Mà ba đường phân giác của tam cắt nhau tại một điểm nên I là giao điểm ba đường phân giác này.

Do đó CI là tia phân giác của góc C.

Vậy CI là tia phân giác của góc C.

Bài 3 trang 82 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC cân tại A, BM, CM lần lượt là tia phân giác của góc B và C, Tia AM cắt BC tại H.
KL	H là trung điểm của BC.

 

Tam giác ABC có tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M (giả thiết)

Mà ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm nên AM là đường phân giác của góc A của tam giác ABC.

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ hay $\widehat{BAH}=\widehat{CAH}.$

Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}.$  

Xét tam giác ABH và tam giác ACH có:

$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (chứng minh trên);

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$(chứng minh trên).

Do đó ∆ABH = ∆ACH (g.c.g)

Suy ra BH = CH (hai cạnh tương ứng)

Vậy H là trung điểm của BC.

Bài 4 trang 82 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.

Lời giải:

GT	$∆$DEF, DI, EI lần lượt là tia phân giác của góc D và I, M ∈ DE, N ∈ DF, MN // EF
KL	ME + NF = MN.

 

+) Vì EI là đường phân giác của $\widehat{E}$ nên $\widehat{MEI}=\widehat{IEF}$.

Lại có MN // EF (giả thiết) nên $\widehat{MIE}=\widehat{IEF}$ (hai góc so le trong).

Suy ra $\widehat{MEI}=\widehat{MIE}$.

Do đó tam giác MIE cân tại M nên ME = MI (1).

+) Tam giác DEF có tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I (giả thiết)

Mà ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm nên I là giao điểm ba đường phân giác

Do đó IF là đường phân giác của góc F, hay $\widehat{NFI}=\widehat{IFE}$.

Lại có MN // EF nên $\widehat{NIF}=\widehat{IFE}$ (hai góc so le trong).

Suy ra $\widehat{NFI}=\widehat{NIF}$.

Do đó tam giác NIF cân tại N nên NI = NF (2).

Từ (1) và (2) ta có ME + NF = MI + NI = MN.

Vậy ME + NF = MN.

Bài 5 trang 82 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác AMN vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.

Lời giải:

GT	$∆$AMN vuông tại A, Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I, MI cắt AN tại R, RT ⊥ AI tại T
KL	AT = RT.

 

Tam giác AMN có hai đường phân giác của góc M và N cắt nhau tại I (giả thiết)

Mà ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm nên AI là đường phân giác của góc A.

Do đó $\widehat{IAR}=\frac{1}{2}\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.90°=45°$.

Xét tam giác TAR vuông tại T có:

$\widehat{TAR}+\widehat{TRA}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{TRA}=90°-\widehat{TAR}=90°-45°=45°$.

Tam giác TAR có $\widehat{TAR}=\widehat{TRA}=45°$ nên tam giác TAR cân tại T.

Do đó AT = RT.

Bài 6 trang 82 Toán 7 Tập 2:

Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi ba xa lộ (Hình 9). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho địa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó.

Hãy xác định vị trí của sân bay thỏa mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện.

 

Lời giải:

Ba xa lộ tạo thành ba cạnh của tam giác ABC như Hình 9.

Vì ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.

Do đó để sân bay cách đều ba xa lộ AB, BC, CA thì địa điểm làm sân bay là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 7 trang 79 Tập 2

Giải Toán 7 trang 80 Tập 2

Giải Toán 7 trang 81 Tập 2

Giải Toán 7 trang 82 Tập 2