Bài 4 trang 82 Toán 7 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 7

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác 

Bài 4 trang 82 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.

Lời giải:

GT	$∆$DEF, DI, EI lần lượt là tia phân giác của góc D và I, M ∈ DE, N ∈ DF, MN // EF
KL	ME + NF = MN.

 

+) Vì EI là đường phân giác của $\widehat{E}$ nên $\widehat{MEI}=\widehat{IEF}$.

Lại có MN // EF (giả thiết) nên $\widehat{MIE}=\widehat{IEF}$ (hai góc so le trong).

Suy ra $\widehat{MEI}=\widehat{MIE}$.

Do đó tam giác MIE cân tại M nên ME = MI (1).

+) Tam giác DEF có tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I (giả thiết)

Mà ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm nên I là giao điểm ba đường phân giác

Do đó IF là đường phân giác của góc F, hay $\widehat{NFI}=\widehat{IFE}$.

Lại có MN // EF nên $\widehat{NIF}=\widehat{IFE}$ (hai góc so le trong).

Suy ra $\widehat{NFI}=\widehat{NIF}$.

Do đó tam giác NIF cân tại N nên NI = NF (2).

Từ (1) và (2) ta có ME + NF = MI + NI = MN.

Vậy ME + NF = MN.