Giải Toán 7 trang 111 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 7 trang 111 Tập 2

Luyện tập 3 trang 111 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác, M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB
KL	IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

Do M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (giả thiết)

Nên IM $\perp$ BC, IN $\perp$AC, IP $\perp$ AB.

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác (giả thiết)

Nên IM = IN = IP (tính chất giao điểm ba đường phân giác)

+) Chứng minh IA là đường trung trực của đoạn thẳng NP.

Vì IN = IP (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của NP (1)

Xét $∆$API (vuông tại P) và $∆$ANI (vuông tại N) có:

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó $∆$API = $∆$ANI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Do đó A thuộc đường trung trực của NP (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA là đường trung trực của NP.

+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.

Vì IP = IM (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của PM. (3)

Xét $∆$BMI (vuông tại M) và $∆$BPI (vuông tại P) có:

BI là cạnh chung,

IM = IP (chứng minh trên)

Do đó $∆$BMI = $∆$BPI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BM = BP (hai cạnh tương ứng).

Do đó B thuộc đường trung trực của PM. (4)

Từ (3) và (4) suy ra IB là đường trung trực của PM.

+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.

Vì IM = IN (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của MN. (5)

Xét $∆$CMI (vuông tại M) và $∆$CNI (vuông tại N) có:

CI là cạnh chung,

IM = IN (chứng minh trên).

Do đó $∆$CMI = $∆$CNI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Do đó C thuộc đường trung trực của MN. (6)

Từ (5) và (6) suy ra IC là đường trung trực của MN.

B. Bài tập

Bài 1 trang 111 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Lời giải:

GT	$∆$ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác, M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB
KL	a) $∆$IMN, $∆$INP, $∆$IPM có là tam giác cân không? Vì sao? b) $∆$ANP, $∆$BPM, $∆$CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

a) Do M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (giả thiết)

Nên IM $\perp$ BC, IN $\perp$ AC, IP $\perp$ AB.

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác (giả thiết)

Nên IM = IN = IP (tính chất giao điểm ba đường phân giác)

Vì IM = IN nên $∆$IMN cân tại I.

Vì IN = IP nên $∆$INP cân tại I.

Vì IP = IM nên $∆$IPM cân tại I.

b) +) Xét $∆$API (vuông tại P) và $∆$ANI (vuông tại N) có:

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó $∆$API = $∆$ANI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

+) Xét $∆$BMI (vuông tại M) và $∆$BPI (vuông tại P) có:

BI là cạnh chung,

IM = IP (chứng minh trên)

Do đó $∆$BMI = $∆$BPI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BM = BP (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

+) Xét $∆$CMI (vuông tại M) và $∆$CNI (vuông tại N) có:

CI là cạnh chung,

IM = IN (chứng minh trên).

Do đó $∆$CMI = $∆$CNI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.

Bài 2 trang 111 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\widehat{IAB}+\widehat{IBC}+\widehat{IC\text{A}}=90°$;

b) $\widehat{BIC}=90°+\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác
KL	a) $\widehat{IAB}+\widehat{IBC}+\widehat{IC\text{A}}=90°$; b) $\widehat{BIC}=90°+\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

a) Vì AI là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì BI là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Vì CI là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{IC\text{A}}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ (tính chất tia phân giác của một góc)

Suy ra $\widehat{IAB}+\widehat{IBC}+\widehat{IC\text{A}}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}+\frac{1}{2}\widehat{ABC}+\frac{1}{2}\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)$

Xét tam giác ABC ta có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\widehat{IAB}+\widehat{IBC}+\widehat{IC\text{A}}=\frac{1}{2}.180°=90°$.

Vậy $\widehat{IAB}+\widehat{IBC}+\widehat{IC\text{A}}=90°.$

b) Vì CI là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ICA}=\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Suy ra $\widehat{IAB}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=90°$.

Do đó $\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=90°-\widehat{IAB}=90°-\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.

Xét tam giác BIC có: $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Do đó $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)=180°-\left(90°-\frac{1}{2}\widehat{BAC}\right)=90°+\frac{1}{2}\widehat{BAC}$.

Vậy $\widehat{BIC}=90°+\frac{1}{2}\widehat{BAC}.$

Bài 3 trang 111 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.

a) Chứng minh $\widehat{CBI}>\widehat{ACI}$;

b) So sánh IB và IC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, AB < AC, I là giao điểm của ba đường phân giác
KL	a) $\widehat{CBI}>\widehat{ACI}$ b) So sánh IB và IC.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

a) Vì BI là đường phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABI}=\widehat{CBI}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Vì CI là đường phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Tam giác ABC có AB < AC nên $\widehat{ACB}<\widehat{ABC}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)

Do đó $\frac{1}{2}\widehat{ACB}<\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Suy ra $\widehat{ACI}<\widehat{CBI}$.

Vậy $\widehat{CBI}>\widehat{ACI}.$

b) Vì $\widehat{ACI}<\widehat{CBI}$ (chứng minh câu a), mà $\widehat{ACI}=\widehat{BCI}$ nên $\widehat{BCI}<\widehat{CBI}$.

Tam giác BIC có $\widehat{BCI}<\widehat{CBI}$ nên IB < IC (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác)

Vậy IB < IC.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Giải Toán 7 trang 108 Tập 2

Giải Toán 7 trang 109 Tập 2

Giải Toán 7 trang 110 Tập 2

Giải Toán 7 trang 111 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác: 

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Chủ đề 3: Dung tích phổi

Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ