Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác AB'C'

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 41 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác AB'C' cân tại A, mặt phẳng (AB'C') vuông góc với mặt phẳng (A'B'C') và AA' = a$\sqrt{3}$.

a) Chứng minh rằng BCC'B' là hình chữ nhật.

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

c) Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C').

Lời giải:

a) Kẻ AH $\perp$ B'C' tại H.

Do tam giác AB'C' cân tại A mà AH $\perp$ B'C' nên AH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của B'C'.

Do tam giác A'B'C' là tam giác đều mà A'H là trung tuyến nên A'H đồng thời là đường cao hay A'H $\perp$ B'C'.

Vì AH $\perp$ B'C' và A'H $\perp$ B'C' nên B'C' $\perp$ (A'AH), suy ra B'C' $\perp$ A'A.

Do ABB'A' là hình bình hành nên AA' // BB' mà B'C' $\perp$ A'A nên BB' $\perp$ B'C'.

Vì BCC'B' là hình bình hành có BB' $\perp$ B'C' nên BCC'B' là hình chữ nhật.

b) Vì (AB'C') $\perp$ (A'B'C'), (AB'C') $\cap$ (A'B'C') = B'C' mà AH $\perp$ B'C' nên AH $\perp$ (A'B'C').

Suy ra AH $\perp$ A'H hay tam giác AHA' vuông tại H.

Vì tam giác A'B'C' là tam giác đều cạnh a, đường cao A'H nên A'H = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Xét tam giác AHA' vuông tại H có: AH = $\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2-A^{\text{'}}{H}^2}=\sqrt{3a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{3a}{2}$.

Khi đó $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\cdot AH$$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3a}{2}$$=\frac{3\sqrt{3}{a}^3}{8}$ .

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3\sqrt{3}{a}^3}{8}$.

c) Vì AH $\perp$ (A'B'C') nên HA' là hình chiếu của AA' trên mặt phẳng (A'B'C').

Do đó góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C') bằng góc giữa hai đường thẳng AA' và A'H, mà (AA', A'H) = $\widehat{A{A}^{\text{'}}H}$.

Xét tam giác AA'H vuông tại H có $\tan \widehat{A{A}^{\text{'}}H}=\frac{AH}{A^{\text{'}}H}=\frac{3a}{2}:\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra, $\widehat{A{A}^{\text{'}}H}=60°$.

Vậy góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C') bằng 60°.