Sách bài tập Toán 11 Bài 23 (Kết nối tri thức): Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.6 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Kẻ AM vuông góc với SB tại M và AN vuông góc với SC tại N. Chứng minh rằng:

a) BC $\perp$ (SAB);

b) AM $\perp$ (SBC);

c) SC $\perp$ (AMN).

Lời giải:

a) Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà AB $\perp$ BC (do tam giác ABC vuông tại B). Do đó BC $\perp$ (SAB).

b) Vì BC $\perp$ (SAB) nên BC$\perp$ AM, mà AM $\perp$ SB (giả thiết). Do đó AM $\perp$ (SBC).

c) Vì AM $\perp$ (SBC) nên AM $\perp$ SC, mà AN $\perp$ SC (giả thiết). Do đó SC $\perp$ (AMN).

Bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC $\perp$ (OAH);

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c) $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Lời giải:

a) Vì OA $\perp$ OB, OA $\perp$ OC nên OA $\perp$ (OBC). Suy ra OA $\perp$ BC.

Mà OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ BC. Do đó BC $\perp$ (OAH).

b) Vì BC $\perp$ (OAH) nên BC $\perp$ AH, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. (1)

Có OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ AC.

Có OB $\perp$ OA, OC $\perp$ OB nên OB $\perp$ (OAC) nên OB $\perp$ AC mà OH $\perp$ AC, từ đó suy ra AC $\perp$ (OBH), suy ra CA $\perp$ BH, do đó BH là đường cao của tam giác ABC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là giao hai đường cao của tam giác ABC.

Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH với BC.

Vì OA $\perp$ (OBC) nên OA $\perp$ OK .

Xét tam giác OAK vuông tại O, có OH là đường cao nên $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{K}^2}$ .

Vì AK $\perp$ BC mà OA $\perp$ BC nên BC $\perp$ (OAK), suy ra OK $\perp$ BC.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có OK là đường cao nên $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Do đó $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Bài 7.8 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Chứng minh rằng AD $\perp$ BC.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC có AB = AC và AM là trung tuyến nên AM là đường cao.

Do đó AM $\perp$ BC. (1)

Xét tam giác BCD có DC = DB và DM là trung tuyến nên DM là đường cao.

Do đó DM $\perp$ BC. (2)

Từ (1) và (2) có: BC $\perp$ (ADM). Suy ra BC $\perp$ AD.

Bài 7.9 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a) BB' $\perp$ (A'B'C');

b) B'C' $\perp$ (ABB'A').

Lời giải:

a) Vì AA' // BB'; AA' $\perp$ (ABC) và (ABC) // (A'B'C') nên BB' $\perp$ (A'B'C').

b) Vì BC $\perp$ AB (do tam giác ABC vuông tại B).

Vì AA' // BB'; AA' $\perp$ (ABC) nên BB' $\perp$ (ABC), suy ra BC $\perp$ BB' mà BC $\perp$ AB nên BC $\perp$ (ABB'A').

Lại có BC // B'C' nên B'C' $\perp$ (ABB'A').

Bài 7.10 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng:

a) SO $\perp$ (ABCD);

b) AC $\perp$ (SBD) và BD $\perp$ (SAC).

Lời giải:

a)

Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC, SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Xét tam giác SBD có SB = SD, SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ BD.

Do đó SO $\perp$ (ABCD).

b) Do ABCD là hình thoi nên AC $\perp$ BD. (1)

Mà SO $\perp$ (ABCD) nên AC $\perp$ SO (2) và BD $\perp$ SO (3).

Từ (1) và (2), suy ra AC $\perp$ (SBD).

Từ (1) và (3), suy ra BD $\perp$ (SAC).

Bài 7.11 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) BC $\perp$ (SAH) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy;

b) SB $\perp$ (CHK) và HK $\perp$ (SBC).

Lời giải:

a) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên BC $\perp$ AH,

mà SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC. Do đó BC $\perp$ (SAH).

Gọi M là giao điểm của AH và BC, ta có BC $\perp$ (SAM) nên BC $\perp$ SM.

Mặt khác, K là trực tâm của tam giác SBC nên SM đi qua K.

Do đó AH, BC, SK đồng quy.

b) Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ CH, mà CH $\perp$ AB, suy ra CH $\perp$ (SAB).

Do đó CH $\perp$ SB.

Lại có SB $\perp$ CK nên SB $\perp$ (CHK).

Xét tam giác SBC, K là trực tâm nên BK $\perp$ SC.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BH mà BH $\perp$ CA nên BH $\perp$ (SAC), suy ra BH $\perp$ SC.

Vì BK $\perp$ SC và BH $\perp$SC nên SC $\perp$ (BHK), suy ra SC $\perp$ HK.

Mà SB $\perp$ HK (vì SB $\perp$ (CHK)). Do đó HK $\perp$ (SBC).

Bài 7.12 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?

Lời giải:

Vì dây dọi song song với cây cột và dây dọi vuông góc với mặt phẳng sàn nên cây cột vuông góc với mặt phẳng sàn.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

Chú ý: Khi $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với $\mathrm{\Delta }$ hoặc $\mathrm{\Delta }$ và (P) vuông góc với nhau, kí hiệu $\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }\left(P\right)$.

2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

3. Tính chất

- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Nhận xét: Nếu ba đường thẳng đôi một phân biệt a, b, c cùng đi qua một điểm O và cùng vuông góc với một đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì ba đường thẳng đó cùng nằm trong mặt phẳng đi qua O và vuông góc với $\mathrm{\Delta }$.

Chú ý: Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm cách đều hai điểm A, B.

- Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

- Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì a vuông góc với (Q).

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

- Nếu đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\mathrm{\Delta }$ cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

- Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

- Nếu đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với mọi đường thẳng song song với (P).

- Nếu đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thì a nằm trong (P) hoặc song song với (P).

Sơ đồ tư duy Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Bài tập cuối chương 7