Sách bài tập Toán 11 Bài 33 (Kết nối tri thức): Đạo hàm cấp hai

Giải SBT Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Bài 9.17 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^4}{4}-2x^2+1$ ;

b) $y=\frac{2x+1}{x-1}$ .

Lời giải:

a) Có $y^{\text{'}}={\left(\frac{x^4}{4}-2x^2+1\right)}^{\text{'}}$ = x³ - 4x.

Có y" = (x³ – 4x)' = 3x² – 4.

Vậy y" = 3x² – 4.

b) $y^{\text{'}}={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{{\left(2x+1\right)}^{\text{'}}\cdot \left(x-1\right)-\left(2x+1\right)\cdot {\left(x-1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=\frac{2\cdot \left(x-1\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$$=\frac{-3}{{\left(x-1\right)}^2}$.

Vậy $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{6}{{\left(x-1\right)}^3}$.

Bài 9.18 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln|2x – 1|;

b) y = tan$\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

Lời giải:

a) y' = (ln|2x – 1|)' = $\frac{{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}}{2x-1}$ $=\frac{2}{2x-1}$.

$y^{\text{'}\text{'}}={\left(\frac{2}{2x-1}\right)}^{\text{'}}$$=2\cdot \frac{-2}{{\left(2x-1\right)}^2}$$=\frac{-4}{{\left(2x-1\right)}^2}$.

Vậy $y^{\text{'}\text{'}}=\frac{-4}{{\left(2x-1\right)}^2}$ .

Bài 9.19 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x$e^{x^2}$ + ln(x+1). Tính f'(0) và f"(0).

Lời giải:

Có f'(x) = (x$e^{x^2}$+ ln(x+1))' = (x$e^{x^2}$)' + (ln(x+1))'

$=e^{x^2}+x{e}^{x^2}\cdot {\left(x^2\right)}^{\text{'}}+\frac{1}{x+1}$.

$=e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}$.

$f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)={\left(e^{x^2}+2x^2{e}^{x^2}+\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$$={\left(e^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(2x^2{e}^{x^2}\right)}^{\text{'}}+{\left(\frac{1}{x+1}\right)}^{\text{'}}$

$=2x{e}^{x^2}+4x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$$=6x{e}^{x^2}+4x^3{e}^{x^2}-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}$

Khi đó $f^{\text{'}}\left(0\right)=e^{0^2}+2\cdot 0\cdot e^{0^2}+\frac{1}{0+1}=2$ ;

$f^{\text{'}\text{'}}\left(0\right)=6\cdot 0\cdot e^{0^2}+4\cdot 0^3{e}^{0^2}-\frac{1}{{\left(0+1\right)}^2}=-1$.

Vậy f'(0) = 2 và f"(0) = −1.

Bài 9.20 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Cho f(x) = (x² + a)² + b (a, b là tham số). Biết f(0) = 2 và f"(1) = 8, tìm a và b.

Lời giải:

Vì f(0) = 2 nên (0² + a)² + b = 2 $\iff$ a² + b = 2. (1)

Có f'(x) = 2(x² + a).(x² + a)' = 4x.(x² + a); f"(x) = 4.(x² + a) + 8x².

Mà f"(1) = 8 nên 4.(1² + a) + 8.1² = 8 $\iff$ a + 1 = 0 $\iff$ a = −1.

Thay a = −1 vào (1), ta được (−1)² + b = 2 $\iff$ b = 1.

Vậy a = −1; b = 1.

Bài 9.21 trang 62 SBT Toán 11 Tập 2: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức $s\left(t\right)=15+\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Có

$=4\pi \sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$.

$=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là

a(3) = $s^{\text{'}\text{'}}\left(3\right)=-16{\pi }^2\sqrt{2}\sin \left(12\pi +\frac{\pi }{6}\right)$$=-8{\pi }^2\sqrt{2}\approx -111,7$ m/s².

Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây khoảng – 111,7 m/s².

Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Bài tập cuối chương 8

Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài tập cuối chương 9