Sách bài tập Toán 11 Bài 18 (Kết nối tri thức): Lũy thừa với số mũ thực

Giải SBT Toán 11 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Bài 6.1 trang 6 SBT Toán 11 Tập 2: Tính:

a) $\sqrt[3]{-27}$ ; b) ${25}^{\frac{3}{2}}$ c) ${32}^{-\frac{2}{5}}$ ; d) ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{{\left(-3\right)}^3}=-3$.

b) ${25}^{\frac{3}{2}}={\left(5^2\right)}^{\frac{3}{2}}=5^3=125$ .

c) ${32}^{-\frac{2}{5}}={\left(2^5\right)}^{-\frac{2}{5}}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$ .

d) ${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}={{\left(\frac{3}{2}\right)}^{3\cdot }}^{\frac{2}{3}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$ .

Bài 6.2 trang 6 SBT Toán 11 Tập 2: So sánh cơ số a (a > 0) với 1, biết rằng:

a) $a^{\frac{3}{4}}>a^{\frac{5}{6}}$ b) $a^{\frac{11}{6}}<a^{\frac{15}{8}}$

Lời giải:

a) Có $\frac{3}{4}=\frac{9}{12};\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$ . Vì $\frac{9}{12}<\frac{10}{12}$ nên $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$ .

Do $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$ và $a^{\frac{3}{4}}>a^{\frac{5}{6}}$ nên a < 1.

b) Có $\frac{11}{6}=\frac{44}{24};\frac{15}{8}=\frac{45}{24}$ . Vì $\frac{44}{24}<\frac{45}{24}$ nên $\frac{11}{6}<\frac{15}{8}$.

Do $\frac{11}{6}<\frac{15}{8}$ và $a^{\frac{11}{6}}<a^{\frac{15}{8}}$ nên a > 1.

Bài 6.3 trang 6 SBT Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{32x^{15}{y}^{20}}$ ; b) $6\sqrt[3]{9x^2}\cdot 3\sqrt[3]{24x}$ .

Lời giải:

a) $\sqrt[5]{32x^{15}{y}^{20}}=\sqrt[5]{2^5{\left(x^3\right)}^5{\left(y^4\right)}^5}=2x^3{y}^4$ .

b) $6\sqrt[3]{9x^2}\cdot 3\sqrt[3]{24x}=18\sqrt[3]{9x^2\cdot 24x}=18\sqrt[3]{6^3{x}^3}=108x$ .

Bài 6.4 trang 6 SBT Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{12}-3\sqrt{27}+2\sqrt{48}$ ;

b) $8xy-\sqrt{25x^2{y}^2}+\sqrt[3]{8x^3{y}^3}$ (x > 0, y > 0).

Lời giải:

a) $2\sqrt{12}-3\sqrt{27}+2\sqrt{48}$

$=2\sqrt{2^2\cdot 3}-3\sqrt{3^2\cdot 3}+2\sqrt{4^2\cdot 3}$

$=4\sqrt{3}-9\sqrt{3}+8\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.

b) $8xy-\sqrt{25x^2{y}^2}+\sqrt[3]{8x^3{y}^3}$

$=8xy-\sqrt{5^2{x}^2{y}^2}+\sqrt[3]{2^3{x}^3{y}^3}$

$=8xy-5xy+2xy=5xy$.

Bài 6.5 trang 6 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left(a^{\sqrt{6}}\right)}^{\sqrt{24}}$ ; b) $a^{\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}$ ;

c) $a^{-\sqrt{3}}:a^{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}$ ; d) $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[12]{a^5}$ .

Lời giải:

a) ${\left(a^{\sqrt{6}}\right)}^{\sqrt{24}}=a^{\sqrt{6\cdot 24}}=a^{\sqrt{{12}^2}}=a^{12}$ .

b) $a^{\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{2}-1}=a^{\sqrt{2}}\cdot a^{1-\sqrt{2}}=a^{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}}=a$ .

c) $a^{-\sqrt{3}}:a^{{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2}=a^{-\sqrt{3}}:a^{4-2\sqrt{3}}$$=a^{-\sqrt{3}-\left(4-2\sqrt{3}\right)}=a^{-4+\sqrt{3}}$ .

d)

$$\begin{gathered} \sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[12]{a^5} \\ =a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{5}{12}} \\ =a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{12}}=a \end{gathered}$$

Bài 6.6 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a và b là số dương, a ≠ b. Rút gọn biểu thức sau:

$A=\left[\frac{a-b}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{4}}}-\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}\right]:\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)$ .

Lời giải:

Đặt $B=\frac{a-b}{a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{4}}}-\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}=\frac{a-b}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)}-\frac{a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}}$

$$\begin{gathered} =\frac{a-b-a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)}=\frac{a-b-a+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)} \\ =\frac{-b+a^{\frac{1}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)}=\frac{b^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)} \end{gathered}$$

$=\frac{b^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)}{a^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}+b^{\frac{1}{4}}\right)}={\left(\frac{b}{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{4}}-b^{\frac{1}{4}}\right)$

Do đó

$\mathrm{A}=\left[\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{{\mathrm{a}}^{\frac{3}{4}}+{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{b}}^{\frac{1}{4}}}-\frac{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{2}}-{\mathrm{b}}^{\frac{1}{2}}}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{4}}+{\mathrm{b}}^{\frac{1}{4}}}\right]:\left({\mathrm{a}}^{\frac{1}{4}}-{\mathrm{b}}^{\frac{1}{4}}\right)$$=\left[{\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)}^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{a}}^{\frac{1}{4}}-{\mathrm{b}}^{\frac{1}{4}}\right)\right]:\left({\mathrm{a}}^{\frac{1}{4}}-{\mathrm{b}}^{\frac{1}{4}}\right)$

$={\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)}^{\frac{1}{2}}\left({\mathrm{a}}^{\frac{1}{4}}-{\mathrm{b}}^{\frac{1}{4}}\right)\cdot \frac{1}{{\mathrm{a}}^{\frac{1}{4}}-{\mathrm{b}}^{\frac{1}{4}}}={\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)}^{\frac{1}{2}}$.

Bài 6.7 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó số vi khuẩn N sau t (giờ) sẽ là $N=100\cdot 2^{\frac{t}{2}}$ (con). Hỏi sau $3\frac{1}{2}$ giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Lời giải:

Đổi $3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ (giờ)

Sau $\frac{7}{2}$ giờ sẽ có số con vi khuẩn là: $100\cdot 2^{\frac{\frac{7}{2}}{2}}=100\cdot 2^{\frac{7}{4}}\approx 336$ (con).

Vậy sau $3\frac{1}{2}$ giờ sẽ có 336 con vi khuẩn.

Bài 6.8 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài L (tính bằng mét) được cho bởi $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{9,8}}$ . Nếu một con lắc có chiều dài 19,6 m, hãy tính chu kì T của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Vì một con lắc có chiều dài 19,6 m nên L = 19,6

Chu kì của con lắc là: $T=2\pi \sqrt{\frac{19,6}{9,8}}\approx 8,9$ (giây).

Vậy nếu một con lắc có chiều dài 19,6 m thì chu kì T khoảng 8,9 giây.

Bài 6.9 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo p (tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn d (tính bằng đơn vị thiên văn AU).

a) Tính p theo d.

b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trái Đất, hãy tính bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải:

a) Theo định luật Kepler ta có : p² = d³ hay $p=\sqrt{d^3}$ .

b) Vì Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trái Đất nên p = 29,46.

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} 29,46=\sqrt{d^3}\iff 29,{46}^2=d^3 \\ \iff d=\sqrt[3]{29,{46}^2}\Rightarrow d\approx 9,54 \end{gathered}$$

Vậy bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời khoảng 9,54 AU.

Bài 6.10 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là $d=\sqrt[3]{6t^2}$ , trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và t là độ dài năm của hành tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008).

a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hỏa là 687 ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là bao nhiêu?

b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).

(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

a) Vì độ dài của một năm trên Sao Hỏa là 687 ngày Trái Đất nên t = 687

Khi đó, khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là: $d=\sqrt[3]{6\cdot {\left(687\right)}^2}\approx 141,48$ (triệu dặm).

Vậy khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời khoảng 141,48 (triệu dặm).

b) Vì một năm trên Trái Đất có 365 ngày nên t = 365

Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là: $d=\sqrt[3]{6\cdot {\left(365\right)}^2}\approx 92,81$ (triệu dặm).

Vậy khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng 92,81 (triệu dặm).

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ thực

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

a) Định nghĩa

- Cho n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa:

Với a là số thực tùy ý:

$a^n=\underset{nthừasố}{\underbrace{a.a.a...a}}$

Với a là số thực khác 0:

$a^0=1;a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

- Trong biểu thức $a^m$, a gọi là cơ số, m gọi là số mũ.

Chú ý: $0^0$ và $0^{-n}\left(n\in \mathbb{N}\ast \right)$ không có nghĩa.

b) Tính chất

Với $a\ne 0,b\ne 0$ và m, n là các số nguyên, ta có:

$\begin{array}{l}{a}^m.a^n=a^{m+n};\\ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n};\\ {\left(a^m\right)}^n=a^{mn};\\ {\left(ab\right)}^m=a^m.b^m;\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^m=\frac{a^m}{b^m}.\end{array}$

Chú ý:

- Nếu $a>1$ thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m > n.

- Nếu $0<a<1$ thì $a^m>a^n$ khi và chỉ khi m < n.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

a) Khái niệm căn bậc n

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu $b^n=a$.

Nhận xét: Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là $\sqrt[n]{a}$ (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là $-\sqrt[n]{a}$.

Chú ý: $\sqrt[n]{0}=0\left(n\in \mathbb{N}\ast \right)$.

b) Tính chất của căn bậc n

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

c) Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó m là một số nguyên và n là một số nguyên dương. Lũy thừa của a với số mũ r, kí hiệu là $a^r$, xác định bởi $a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Lưu ý: ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$.

Chú ý: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

3. Lũy thừa với số mũ thực

Cho a là số thực dương và $\alpha$ là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ $\left(r_n\right)$ mà $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{r}_n=\alpha$. Khi đó, dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ $\left(r_n\right)$ đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ $\alpha$, kí hiệu là $a^{\alpha }$.

$a^{\alpha }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{a}^{r_n}$.

Chú ý: Lũy thừa với số mũ thực (của một số thực dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên đã nêu trong Mục 1.

Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 5 trang 87

Bài 19: Lôgarit

Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài tập cuối chương 6 trang 20