Sách bài tập Toán 11 Bài 7 (Kết nối tri thức): Cấp số nhân

Giải SBT Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân

Bài 2.21 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng mỗi dãy số (u_n) sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.

a) $u_n=-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$;

b) $u_n=\frac{2^n}{3^{n-1}}$.

Lời giải:

a) Từ $u_n=-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ suy ra $u_{n+1}=-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}=-\frac{3}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

Như vậy $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{-\frac{3}{2}.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{-3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}=\frac{1}{2}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = $-\frac{3}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

b) Từ $u_n=\frac{2^n}{3^{n-1}}$ suy ra $u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{3^{n+1-1}}=\frac{{2.2}^n}{{3.3}^{n-1}}=\frac{2}{3}.\frac{2^n}{3^{n-1}}$.

Như vậy $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{2}{3}.\frac{2^n}{3^{n-1}}}{\frac{2^n}{3^{n-1}}}=\frac{2}{3}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = $\frac{2}{3}$.

Bài 2.22 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân 64, – 32, 16, – 8, ...

Lời giải:

Do cấp số nhân có u₁ = 64 và công bội q = $\frac{-32}{64}=-\frac{1}{2}$ nên số hạng thứ 10 của cấp số nhân là $u_{10}=u_1.q^{10-1}=u_1{q}^9=64.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^9=-\frac{1}{8}$.

Bài 2.23 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Cho một cấp số nhân với tất cả các các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là $\frac{125}{64}$. Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Lời giải:

Theo giả thiết ta có

Chia vế theo vế của hai phương trình trên ta được $q^6=\frac{1}{64}\iff q=\pm \frac{1}{2}$.

Với $q=\frac{1}{2}\Rightarrow u_1=\frac{125}{q^3}=\frac{125}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}=1000\Rightarrow u_{14}=u_1{q}^{13}=1000.{\left(\frac{1}{2}\right)}^{13}=\frac{125}{1024}$.

Với $q=-\frac{1}{2}\Rightarrow u_1=\frac{125}{q^3}=\frac{125}{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3}=-1000$ < 0 (loại vì các số hạng của cấp số nhân đều là số dương).

Vậy số hạng thứ 14 của cấp số nhân đã cho là $u_{14}=\frac{125}{1024}$.

Bài 2.24 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm x sao cho x, x + 2, x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Lời giải:

Vì x, x + 2 và x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta suy ra

x(x + 3) = (x + 2)²

⇔ x² + 3x = x² + 4x + 4

⇔ x = – 4.

Thử lại, ta có ba số là – 4; – 2; – 1 thoả mãn bài toán.

Vậy x = − 4.

Bài 2.25 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các tổng sau:

a) 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹;

b) $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3}+\mathrm{...}+\frac{2^{12}}{3}$.

Lời giải:

a) Ta có 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹ = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... + 4⁹.

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 4⁰ = 1, công bội q = 4 và có 10 số hạng.

Vậy 1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4⁹ = $\frac{1.\left(1-4^{10}\right)}{1-4}$ = 349 525.

b) Ta có $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3}+\mathrm{...}+\frac{2^{12}}{3}$.

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = $\frac{1}{3}$ và công bội q = 2 và có 13 số hạng.

Vậy $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2^2}{3}+\mathrm{...}+\frac{2^{12}}{3}$$=\frac{\frac{1}{3}\left(1-2^{13}\right)}{1-2}=\frac{8191}{3}$.

Bài 2.26 trang 39 SBT Toán 11 Tập 1: Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?

Lời giải:

Gọi u_n là số người bị bệnh ở cuối tuần thứ n. Vì có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo nên dãy số (u_n) là một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 4.

Suy ra số người bị ảnh hưởng bởi dịch bệnh ở cuối tuần 10 là

u₁₀ = u₁q⁹ = 5 . 4⁹ = 1 310 720 (người).

Bài 2.27 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Lời giải:

Gọi u_n là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.

Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số (u_n) là một cấp số nhân có u₁ = 180 và công bội q = 1 + 5% = 1,05.

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là u₆ = u₁q⁵ = 180 . (1,05)⁵ ≈ 229,73 (triệu đồng).

Bài 2.28 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hàng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hàng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiên vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Lời giải:

Gọi u_n là số tiền (triệu đồng) mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ n (vào đầu tháng thứ n).

Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, r = 0,5% .

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là u₁ = a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là

u₂ = u₁(1 + r) + a = a(1 + r) + a.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

u₃ = u₂(1 + r) + a = a(1 + r)² + a(1 + r) + a.

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là

u_n = a(1 + r)^{n – 1} + a(1 + r)^{n – 2} + ... + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)^{n – 1} + (1 + r)^{n – 2} + ... + (1 + r) + 1]

= $a.\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{\left(1+r\right)-1}=a\frac{{\left(1+r\right)}^n-1}{r}$.

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được

$u_{180}=\mathrm{0,5.}\frac{{\left(1+\mathrm{0,5}\%\right)}^{180}-1}{\mathrm{0,5}\%}$ ≈ 145,41 (triệu đồng).

Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là 3 + 180 : 12 = 18 (tuổi).

Bài 2.29 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Lời giải:

Gọi u_n là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}$ nên u₁ = $2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^2}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $u_2=2.\frac{1}{2}.{\left(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2^3}$.

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $u_3=\frac{a^2}{2^4}$.

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (u_n) là cấp số nhân với $u_1=\frac{a^2}{2^2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Với a = 16 cm thì u₁ = $\frac{{16}^2}{2^2}$ = 64 cm.

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là

$S_5=u_1\frac{1-q^5}{1-q}=64.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5}{1-\frac{1}{2}}$ = 124 (cm²).

Bài 2.30 trang 40 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy m² = p ∙ q. Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác m₁, m₂, ..., m_k sao cho p, m₁, m₂, ..., m_k, q lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy

a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;

b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.

Lời giải:

a) Theo định nghĩa, chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3 và u_{2 + 2} = u₄ = 24.

Do tính chất của cấp số nhân nên u₄ = u₁q³ = 3q³ = 24. Suy ra q = 2.

Khi đó u₂ = 3 . 2 = 6, u₃ = 6 . 12 = 12.

Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là: 3, 6, 12, 24.

b) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có u₁ = 2,25 và u_{2 + 3} = u₅ = 576.

Do tính chất của cấp số nhân nên u₅ = u₁q⁴ = 2,25q⁴ = 576. Suy ra q = ± 4.

+ Với q = 4, ta có u₂ = 2,25 . 4 = 9; u₃ = 9 . 4 = 36; u₄ = 36 . 4 = 144.

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; 9; 36; 144; 576.

+ Với q = − 4, ta có u₂ = 2,25 . (− 4) = − 9; u₃ = (− 9) . (− 4) = 36; u₄ = 36 . (− 4) = − 144.

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; − 9; 36; − 144; 576.

Lý thuyết Cấp số nhân

1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân $\left(u_n\right)$với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi

$u_n=u_{n-1}.q,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

* Chú ý: Dãy $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân thì ${u_k}^2=u_{k-1}.u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$.

2. Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định bởi công thức

$u_n=u_1.q^{n-1},n\ge 2$

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$với công bội $q\ne 1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2 trang 40

Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài tập cuối chương 3 trang 50

Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian