Sách bài tập Toán 11 Bài 16 (Kết nối tri thức): Giới hạn của hàm số

Giải SBT Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 5.11 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}x neu x>1\\ 2 neu x=1\\ 1 neu x<1\end{array}\right)$ . Hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1 không?

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }x=1$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }1=1$ .

Vậy $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$ nên hàm số f(x) có giới hạn khi x → 1.

Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$ ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3+x^2+x-3}{x^3-1}$ ;

c) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}$ ;

d) $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}$ .

Lời giải:

a)$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4x+1-3^2}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}$.

b)$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3+x^2+x-3}{x^3-1}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^3-1\right)+\left(x^2-1\right)+\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(\left(x^2+x+1\right)+\left(x+1\right)+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2x+3}{x^2+x+1}=\frac{1+2+3}{1+1+1}=2$.

c) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}$$=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}$ .

Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=\mathrm{0,}\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=2-3=-1<0$ và x – 2 > 0 khi x → 2⁺, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-2}=-\infty$.

Vậy $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{{\left(x-2\right)}^2}=-\infty$ .

d)$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}$

Vì $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(x^2+x-2\right)=0+0-2=-2<0$ , $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x=0$ và x < 0 nên $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x}=+\infty$ .

Bài 5.13 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\left(\begin{array}{c}{x}^2+ax neu x>3\\ 3x^2+1 neu x\le 3\end{array}\right)$ có giới hạn khi x → 3.

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x^2+ax\right)=3^2+3a=9+3a$ ;

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(3x^2+1\right)={3.3}^2+1=28$.

Do đó, hàm số f(x) có giới hạn khi x → 3 khi $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ , tức là 9 + 3a = 28.

Suy ra $a=\frac{19}{3}$.

Bài 5.14 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các số thực a và b sao cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=b$ .

Lời giải:

Vì x = 1 là nghiệm của đa thức x² – 3x + 1 nên đa thức 2x² – ax + 1 phải có nghiệm x = 1. Khi đó, 2 . 1² – a . 1 + 1 = 0, suy ra a = 3.

Do đó,

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-ax+1}{x^2-3x+2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x^2-3x+1}{x^2-3x+2} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)} \end{gathered}$$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1$.

Vậy b = – 1.

Bài 5.15 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}$ . Tính:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ ;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ .

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}{1}=1$ .

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2-x+2}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}{1}=-1$ .

Bài 5.16 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$ .

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1-x\right)\left(1-x^2\right)\left(1-x^3\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\frac{1}{x}-1\right)x^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)x^3\left(\frac{1}{x^3}-1\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^6\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\left(\frac{1}{x^3}-1\right)=-\infty$

Bài 5.17 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$ với m là tham số. Biết $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ , tìm giá trị của m.

Lời giải:

Ta có $g\left(x\right)=\sqrt{x^2+2x}-\sqrt{x^2-1}-2m$

$=\frac{x^2+2x-x^2+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-1}}-2m$

$=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m$

Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}-2m\right)=\frac{2}{2}-2m=1-2m$ .

Mà $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=0$ nên 1 – 2m = 0, suy ra $m=\frac{1}{2}$ .

Bài 5.18 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho m là một số thực. Biết $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=-\infty$ . Xác định dấu của m.

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)\right)$ .

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{m}{x}-1\right)\left(m+\frac{1}{x}\right)=-m$ nên để $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\left(m-x\right)\left(mx+1\right)\right)=-\infty$ thì – m < 0, có nghĩa là m > 0.

Vậy m > 0.

Bài 5.19 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2}$ . Chứng minh rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ .

Lời giải:

Lấy dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n → +∞. Khi đó

$\left(f\left(x_n\right)\right)=\left(\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\right)=\frac{{\sin }^2{x}_n}{x_n^2}\le \frac{1}{x_n^2}\to 0$ khi n → +∞.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x_n\right)=0$. Từ đó suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ .

Bài 5.20 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 55 (triệu đồng).

a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.

b) Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ . Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Lời giải:

a) Chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm là

$f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+55}{x}$ (triệu đồng).

b) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+55}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2$ .

Ý nghĩa của giới hạn trên: Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm $x_0$và hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm $x_0$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $x_n\in \left(a;b\right)$,$x_n\ne x_0$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$hay $f(x)\to L$, khi $x_n\to x_0$.

*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a, Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$và $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=M$thì

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x)\pm g(x)\right]=L\pm M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f(x).g(x)\right]=L.M$

$\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{L}{M}\left(M\ne 0\right)$

b, Nếu $f(x)\ge 0$với mọi $x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=L$ thì $L\ge 0$và $\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}$.

2. Giới hạn một bên

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói số L là giới hạn bên phải của $f(x)$khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=L$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi $x\to x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=L$.

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;+\mathrm{\infty }\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to +\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n>a$ và $x_n\to +\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to +\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };b\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là số L khi $x\to -\mathrm{\infty }$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì $x_n<b$ và $x_n\to -\mathrm{\infty }$ta có $f(x_n)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=L$ hay $f(x)\to L$ khi $x\to -\mathrm{\infty }$.

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}c=c$, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}c=c$.

Với k là một số nguyên dương, ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^k})=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{x^k})=0$.

4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a, Giới hạn vô cực

- Giả sử (a;b) là một khoảng chứa $x_0$và hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn là $+\mathrm{\infty }$khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì, $\left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$ và $x_n\to x_0$, ta có$f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$

Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $-\mathrm{\infty }$khi $x\to x_0$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, nếu $\underset{x\to x_0}{lim}\left[-f(x)\right]=+\mathrm{\infty }$.

- Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Cho hàm số $y=f(x)$xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói hàm số $f(x)$có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0$ và $x_n\to x_0$ta có $f(x_n)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$.

Các giới hạn một bên$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$ được định nghĩa tương tự.

b, Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tích$\underset{x\to x_0}{lim}f(x).g(x)$

*Giới hạn của thương $\frac{f(x)}{g(x)}$

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 14: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4 trang 72

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 5 trang 87