Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Sách bài tập Toán 11 Bài 17 (Kết nối tri thức): Hàm số liên tục

    Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 17.

    1 679 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

    Bài 5.21 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểm x = 0. Xét tính liên tục của hàm số fx=gxx tại x = 1.

    Lời giải:

    Do hàm số g(x) liên tục trên ℝ trừ điểmx = 0 nên hàm số g(x) liên tục tại x = 1.

    Xét hàm số h(x) = x xác định với mọi x ∈ ℝ, ta thấy hàm số này liên tục trên ℝ nên nó cũng liên tục tại x = 1.

    Do đó với x ≠ 0, hàm số fx=gxhx=gxx liên tục tại x = 1.

    Bài 5.22 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số fx=3                nê'u  x≤1ax+b    nê'u  1<x<25                nê'u  x≥2. Xác định a, b để hàm số liên tục trên ℝ.

    Lời giải:

    + Với x < 1 thì f(x) = 3 luôn liên tục trên (– ∞; 1).

    + Với 1 < x < 2 thì f(x) = ax + b luôn liên tục trên (1; 2).

    + Với x > 2 thì f(x) = 5 luôn liên tục trên (2; +∞).

    Do đó, ta cần xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 và x = 2.

    Ta có: limx→1+fx=limx→1+ax+b=a+b; limx→1−fx=limx→1−3=3; f(1) = 3;

    limx→2+fx=limx→2+5=5; limx→2−fx=limx→2−ax+b=2a+b;f(2) = 5.

    Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số f(x) phải liên tục tại x = 1 và x = 2, tức là

    limx→1+fx=limx→1−fx=f1limx→2+fx=limx→2−fx=f2⇔a+b=32a+b=5⇔a=2b=1

    Vậy a = 2, b = 1 thì hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

    Bài 5.23 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tham số m để hàm số fx=x2−1x−1        neu   x<1mx+1       neu   x≥1 liên tục trên ℝ.

    Lời giải:

    Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng (– ∞; 1) và (1; +∞).

    Ta cần xét tính liên tục của hàm số đã cho tại x = 1.

    Ta có: limx→1+fx=limx→1+mx+1=m+1

    limx→1−fx=limx→1−x2−1x−1=limx→1−x−1x+1x−1=limx→1−x+1=2

    f(1) = m . 1 + 1 = m + 1.

    Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì limx→1+fx=limx→1−fx=f1, tức là m + 1 = 2.

    Suy ra m = 1.

    Bài 5.24 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

    a) fx=x3+x+1x2−3x+2

    b) gx=cosxx2+3x−4

    Lời giải:

    Áp dụng tính chất: Các hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

    a) fx=x3+x+1x2−3x+2

    ĐKXĐ: x2 – 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 hoặc x ≠ 2.

    Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = (– ∞; 1) ∪ (1; 2) ∪ (2; +∞).

    Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (– ∞; 1), (1; 2), (2; +∞).

    b)gx=cosxx2+3x−4

    ĐKXĐ: x2 + 3x – 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ – 4 hoặc x ≠ 1.

    Do đó, tập xác định của hàm số g(x) là D = (– ∞; – 4) ∪ (– 4; 1) ∪ (1; +∞).

    Vậy hàm số g(x) liên tục trên các khoảng (– ∞; – 4), (– 4; 1), (1; +∞).

    Bài 5.25 trang 86 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

    a) x2=x+1, trong khoảng (1; 2).

    b) cos x = x, trong khoảng (0; 1).

    Lời giải:

    a) Xét hàm số fx=x2−x+1 xác định trên [– 1; +∞).

    Do đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2].

    Mà f(1) = 1−1+1=1−2 < 0 và f(2) = 22−2+1=4−3>0

    Suy ra f(1) . f(2) < 0.

    Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (1; 2) sao cho f(c) = 0.

    Tức là f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2).

    Vậy phương trình x2=x+1 có nghiệm trong khoảng (1; 2).

    b) Xét hàm số g(x) = cos x – x xác định trên ℝ.

    Do đó hàm số g(x) liên tục trên đoạn [0; 1].

    Mà g(0) = cos 0 – 0 = 1 > 0 và g(1) = cos 1 – 1 < 0.

    Suy ra g(0) . g(1) < 0.

    Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm c ∈ (0; 1) sao cho g(c) = 0.

    Tức là g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

    Vậy phương trình cos x = x có nghiệm trong khoảng (0; 1).

    Lý thuyết Hàm số liên tục

    1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

    Cho hàm y=f(x) xác định trên khoảng (a;b)chứa điểm x0. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu limx→x0⁡f(x)=f(x0).

    Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

    2. Hàm số liên tục trên một khoảng

    - Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

    - Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b]nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và limx→a+⁡f(x)=f(a),limx→b−⁡f(x)=f(b).

    *Nhận xét:

    - Hàm số đa thức và hàm số y=sinx,y=cosx liên tục trên R.

    - Các hàm số y=tan⁡x,y=cotx,y=x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

    3. Một số tính chất cơ bản

    Giả sử hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:

    a, Các hàm số y=f(x)±g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại điểm x0.

    b, Hàm số y=f(x)g(x) liên tục tại điểm x0nếu g(x0)≠0.

    Lý thuyết Hàm số liên tục – Toán 11 Kết nối tri thức (ảnh 1)

    Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 11 bộ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Bài 14: Phép chiếu song song

    Bài tập cuối chương 4 trang 72

    Bài 15: Giới hạn của dãy số

    Bài 16: Giới hạn của hàm số

    Bài tập cuối chương 5 trang 87

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 679 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: