Sách bài tập Toán 11 Bài 25 (Kết nối tri thức): Hai mặt phẳng vuông góc
Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 25.
Giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc
b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD).
Lời giải:
a) Vì M là trung điểm của CD nên BM là trung tuyến.
Vì BCD là tam giác đều nên CD BM.
Tương tự CD AM nên CD (ABM), suy ra CD ^ AH.
Mà AH BM nên AH (BCD).
b) Vì AM CD, BM CD nên góc giữa hai mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng góc giữa hai đường thẳng AM và BM, mà (AB,BM) = .
Tam giác BCD đều có BM là đường cao đồng thời là trung tuyến, ta chứng minh được H là trọng tâm tam giác BCD nên BM = và HM = BM = .
Tam giác ADC đều có AM là đường cao đồng thời là trung tuyến nên AM = .
Xét tam giác AHM vuông tại H nên cos = cos.
Vậy côsin của góc giữa mặt phẳng (BCD) và mặt phẳng (ACD) bằng .
Lời giải:
Xét tam giác ABC có AC = BC nên tam giác ABC cân tại C mà CM là trung tuyến nên CM là đường cao hay CM AB.
Xét tam giác ADB có AD = BD nên tam giác ABD cân tại D mà DM là trung tuyến nên DM là đường cao hay DM AB.
Do đó AB (CDM) mà AB (ABC) nên (CDM) (ABC).
Vì AB (CDM) mà AB (ABD) nên (CDM) (ABD).
b) (SBC) (BDH);
c) (SBC) (SCD).
Lời giải:
a) Ta có SA (ABCD) nên SA BD mà BD AC (do ABCD là hình thoi).
Do đó BD (SAC) mà BD (SBD) nên (SBD) (SAC).
b) Vì BD (SAC) nên BD SC, mà SC OH nên SC (BDH).
Vì SC (SBC) nên (SBC) (BDH).
c) Ta có tam giác ABD có AB = AD = a và = 60o nên tam giác ABD đều.
Suy ra BD = AB = AD = a.
Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của mà = 60o nên = 30o.
Xét tam giác ADO vuông tại O, có AO = AD . cos30° = . Do đó AC = a.
Xét tam giác SAC vuông tại A, có SC = .
Vì CHO đồng dạng CAS (g.g) nên .
Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra = 90o.
Mà BH SC, DH SC (do SC (BDH)) và (SBC) ∩ (SCD) = SC,
BH ⊂ (SBC), DH ⊂ (SCD).
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng BH và DH. Mà (DH, BH) = = 90o.
Vậy (SBC) (SCD).
a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);
b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).
Lời giải:
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.
Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO AC.
Xét tam giác SBD có SD = SB nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO BD.
Do đó SO (ABCD) nên SO AB.
Kẻ OH AB tại H mà SO AB. Khi đó AB (SOH). Suy ra AB SH.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HO mà (SH,HO)=.
Xét tam giác ABC có OH là đường trung bình nên OH = .
Xét tam giác SAH vuông tại H, có AH = ; SA = a.
Khi đó SH = .
Xét tam giác SHO vuông tại O, có cos.
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là .
b) Gọi K là trung điểm của SB.
Xét tam giác SAB đều có AK là trung tuyến nên AK đồng thời là đường cao.
Suy ra AK SB.
Xét tam giác SCB đều có CK là trung tuyến nên CK đồng thời là đường cao.
Suy ra CK SB.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AK và CK.
Ta có AK, CK là đường cao của các tam giác đều cạnh a nên AK = CK = .
Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2 ⇒ AC = a.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:
cos, suy ra cos(AK,CK) = -cos = .
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng .
Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.
a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD).
b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'].
Lời giải:
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.
Vì ABCD là hình vuông nên AO BD.
Xét tam giác A'AB vuông tại A, nên A'B = .
Xét tam giác A'AD vuông tại A, nên A'D = .
Xét tam giác A'BD có A'D = A'B nên tam giác A'BD là tam giác cân mà A'O là trung tuyến nên A'O đồng thời là đường cao. Do đó A'O BD.
Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng góc giữa đường thẳng AO và A'O mà (AO,A'O) = .
Xét tam giác ADC vuông tại D, có AC = .
Vì O là trung điểm của AC nên AO = ;
Xét tam giác A'AO vuông tại A, có OA' = .
Xét tam giác AA'O vuông tại A, có cos.
Vậy côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng .
b) Xét tam giác BCC' vuông tại C có: C'B = .
Xét tam giác C'CD vuông tại C có: C'D = .
Xét tam giác C'BD có C'B = C'D nên tam giác C'BD cân tại C' mà C'O là trung tuyến nên C'O đồng thời là đường cao hay C'O BD.
Vì A'O BD, C'O BD nên góc nhị diện [A', BD, C'] bằng .
Ta có OA' = C'O = ; A'C' = a.
Áp dụng định lí côsin cho tam giác A'OC' ta được:
cos.
Vậy côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'] bằng .
*) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có (SAB) (ABCD), (SAD) (ABCD) nên SA (ABCD). Suy ra SA BD.
Mà AC BD (do ABCD là hình vuông) nên BD (SAC). Do đó BD SO.
Vì BD SO, CO BD nên góc nhị diện [S, BD, C] bằng .
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a, AO = .
Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = và cos = -cos = - = -.
Vậy côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] bằng - .
*) Kẻ BM SC tại M.
Vì ABCD là hình vuông nên BD AC mà BD SA (do SA (ABCD)).
Do đó BD (SAC), suy ra BD SC mà BM SC nên SC (BDM).
Suy ra SC DM.
Xét SAB và SAD có SA chung, = 90o, AB = AD nên SAB = SAD.
Suy ra SB = SD (hai cạnh tương ứng).
Xét SBC và SDC có SB = SD, SC chung, BC = DC nên SBC = SDC.
Suy ra BM = DM (đều là đường cao tương ứng với đáy SC).
Vì BM SC và DM SC nên góc nhị diện [B, SC, D] bằng .
Có BC AB, BC SA (SA (ABCD)) nên BC (SAB) ⇒ BC SB hay tam giác SBC vuông tại B.
Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = .
Xét tam giác SBC vuông tại B, có SC = và
BM.SC = SB.BC DM = BM = .
Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, có cos.
Vậy côsin của số đo góc nhị diện [B, SC, D] bằng -.
a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).
b) Chứng minh rằng (SMD) (SHC).
Lời giải:
a) Vì tam giác SAD đều, SH là trung tuyến nên SH là đường cao hay SH AD.
Ta có (SAD) (ABCD) và SH AD nên SH (ABCD).
Suy ra CH là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà (SC,CH) = .
Vì tam giác SAD đều cạnh a, SH là đường cao nên SH = .
Xét tam giác DHC vuông tại D, có HC = .
Xét tam giác SHC vuông tại H, có SC = , cos.
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng .
b) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD mà M, H lần lượt là trung điểm của AB và AD nên DH = HA = AM = MB.
Xét CDH và DAM có: CD = DA; = 90o; DH = AM.
Do đó CDH = DAM.
Vì CDH = DAM suy ra .
Do đó = 90o. Suy ra DM CH.
Vì SH (ABCD) nên SH DM mà DM CH. Do đó DM (SCH).
Mà DM (SMD) nên (SMD) (SHC).
Lời giải:
Gọi a là giao tuyến của mặt phẳng nằm ngang và mặt phẳng nằm nghiêng. Phương của lực hút Trái Đất vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, phương của phản lực vuông góc với mặt phẳng nghiêng nên phương của hai lực nói trên đều vuông góc với đường thẳng a. Do đó, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa hai phương của hai lực đó. Vì tổng hợp lực của trọng lực và phản lực là một lực có phương nằm trên mặt phẳng (P) nên phương đó vuông góc với a. Do đó, viên bi lăn dọc theo đường thẳng vuông góc với đường thẳng a.
Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 11 Kết nối tri thức - hay nhất
- Văn mẫu lớp 11 - Kết nối tri thức
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 11 – Kết nối tri thức
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn 11 - Kết nối tri thức
- Giải SBT Ngữ văn 11 – Kết nối tri thức
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 11 – Kết nối tri thức
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 11 – Kết nối tri thức
- Soạn văn 11 Kết nối tri thức (ngắn nhất)
- Bài tập Tiếng Anh 11 Global success theo Unit có đáp án
- Giải sgk Tiếng Anh 11 – Global success
- Giải sbt Tiếng Anh 11 - Global Success
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 11 Global success đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 11 Global success
- Giải sgk Vật lí 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Vật lí 11 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Vật lí 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Vật lí 11 – Kết nối tri thức
- Chuyên đề dạy thêm Vật lí 11 cả 3 sách (2024 có đáp án)
- Giải sgk Hóa học 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Hóa học 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hóa 11 - Kết nối tri thức
- Giải sbt Hóa học 11 – Kết nối tri thức
- Chuyên đề dạy thêm Hóa 11 cả 3 sách (2024 có đáp án)
- Giải sgk Sinh học 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Sinh học 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Sinh học 11 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Sinh học 11 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Kinh tế pháp luật 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Kinh tế pháp luật 11 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Kinh tế pháp luật 11 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Lịch sử 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Lịch sử 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Lịch sử 11 - Kết nối tri thức
- Giải sbt Lịch sử 11 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Địa lí 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Địa lí 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Địa lí 11 - Kết nối tri thức
- Giải sbt Địa lí 11 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Công nghệ 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Công nghệ 11 - Kết nối tri thức
- Giải sbt Công nghệ 11 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Tin học 11 – Kết nối tri thức
- Giải Chuyên đề học tập Tin học 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Tin học 11 - Kết nối tri thức
- Giải sbt Tin học 11 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng an ninh 11 – Kết nối tri thức
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 11 – Kết nối tri thức
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng 11 – Kết nối tri thức
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 – Kết nối tri thức