Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) vuông góc với (ABCD)

Giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Lời giải:

*) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ (ABCD). Suy ra SA $\perp$ BD.

Mà AC $\perp$ BD (do ABCD là hình vuông) nên BD $\perp$ (SAC). Do đó BD $\perp$ SO.

Vì BD $\perp$ SO, CO $\perp$ BD nên góc nhị diện [S, BD, C] bằng $\widehat{SOC}$.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a$\sqrt{2}$, AO = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = $\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và cos$\widehat{SOC}$ = -cos$\widehat{SOA}$ = -$\frac{OA}{SO}$ = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] bằng -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

*) Kẻ BM $\perp$ SC tại M.

Vì ABCD là hình vuông nên BD $\perp$ AC mà BD $\perp$ SA (do SA $\perp$ (ABCD)).

Do đó BD $\perp$ (SAC), suy ra BD $\perp$ SC mà BM $\perp$ SC nên SC $\perp$ (BDM).

Suy ra SC $\perp$ DM.

Xét $∆$SAB và $∆$SAD có SA chung, $\widehat{SAB}=\widehat{SAD}$ = 90^o, AB = AD nên $∆$SAB = $∆$SAD.

Suy ra SB = SD (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆$SBC và $∆$SDC có SB = SD, SC chung, BC = DC nên $∆$SBC = $∆$SDC.

Suy ra BM = DM (đều là đường cao tương ứng với đáy SC).

Vì BM $\perp$ SC và DM $\perp$ SC nên góc nhị diện [B, SC, D] bằng $\widehat{BMD}$.

Có BC $\perp$ AB, BC $\perp$ SA (SA $\perp$ (ABCD)) nên BC $\perp$ (SAB) ⇒ BC $\perp$ SB hay tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác SBC vuông tại B, có SC = $\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{3}$ và

BM.SC = SB.BC $\Rightarrow$DM = BM = $\frac{SB.BC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, có cos$\widehat{BMD}=\frac{B{M}^2+D{M}^2-B{D}^2}{2.BM.DM}=-\frac{1}{2}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [B, SC, D] bằng -$\frac{1}{2}$.