Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau

Giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.22 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Xét tam giác SBD có SD = SB nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ BD.

Do đó SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ AB.

Kẻ OH $\perp$ AB tại H mà SO $\perp$ AB. Khi đó AB $\perp$ (SOH). Suy ra AB $\perp$ SH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HO mà (SH,HO)=$\widehat{SHO}$.

Xét tam giác ABC có OH là đường trung bình nên OH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác SAH vuông tại H, có AH = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$; SA = a.

Khi đó SH = $\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác SHO vuông tại O, có cos$\widehat{SHO}=\frac{OH}{SH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Gọi K là trung điểm của SB.

Xét tam giác SAB đều có AK là trung tuyến nên AK đồng thời là đường cao.

Suy ra AK $\perp$ SB.

Xét tam giác SCB đều có CK là trung tuyến nên CK đồng thời là đường cao.

Suy ra CK $\perp$ SB.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

Ta có AK, CK là đường cao của các tam giác đều cạnh a nên AK = CK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a² ⇒ AC = a$\sqrt{2}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:

cos$\widehat{AKC}=\frac{A{K}^2+C{K}^2-A{C}^2}{2.AK.CK}=-\frac{1}{3}$, suy ra cos(AK,CK) = -cos$\widehat{AKC}$ = $\frac{1}{3}$.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{1}{3}$ .