Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60 độ

Giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết SA $\perp$ (ABCD) và SA = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Chứng minh rằng:

a) (SBD) $\perp$ (SAC);

b) (SBC)$\perp$ (BDH);

c) (SBC) $\perp$ (SCD).

Lời giải:

a) Ta có SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ BD mà BD $\perp$ AC (do ABCD là hình thoi).

Do đó BD $\perp$ (SAC) mà BD $\subset$ (SBD) nên (SBD) $\perp$ (SAC).

b) Vì BD $\perp$ (SAC) nên BD $\perp$ SC, mà SC $\perp$ OH nên SC $\perp$ (BDH).

Vì SC $\subset$ (SBC) nên (SBC)$\perp$ (BDH).

c) Ta có tam giác ABD có AB = AD = a và $\widehat{BAD}$ = 60^o nên tam giác ABD đều.

Suy ra BD = AB = AD = a.

Vì ABCD là hình thoi nên AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ mà $\widehat{BAD}$ = 60^o nên $\widehat{DAO}$ = 30^o.

Xét tam giác ADO vuông tại O, có AO = AD . cos30° = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Do đó AC = a$\sqrt{3}$.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có SC = $\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{\frac{6a^2}{4}+3a^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$ .

Vì $∆$CHO đồng dạng $∆$CAS (g.g) nên $\frac{HO}{AS}=\frac{CO}{CS}\Rightarrow \frac{CO.AS}{CS}=\frac{a}{2}=\frac{BD}{2}$ .

Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra $\widehat{BHD}$ = 90^o.

Mà BH $\perp$ SC, DH $\perp$ SC (do SC $\perp$ (BDH)) và (SBC) ∩ (SCD) = SC,

BH ⊂ (SBC), DH ⊂ (SCD).

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) là góc giữa hai đường thẳng BH và DH. Mà (DH, BH) = $\widehat{BHD}$ = 90^o.

Vậy (SBC) $\perp$ (SCD).