Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD)

Giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'].

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO $\perp$ BD.

Xét tam giác A'AB vuông tại A, nên A'B = $\sqrt{A\text{'}{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'AD vuông tại A, nên A'D = $\sqrt{A\text{'}{A}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'BD có A'D = A'B nên tam giác A'BD là tam giác cân mà A'O là trung tuyến nên A'O đồng thời là đường cao. Do đó A'O $\perp$ BD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng góc giữa đường thẳng AO và A'O mà (AO,A'O) = $\widehat{AOA\text{'}}$ .

Xét tam giác ADC vuông tại D, có AC = $\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên AO = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

Xét tam giác A'AO vuông tại A, có OA' = $\sqrt{AA{\text{'}}^2+O{A}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Xét tam giác AA'O vuông tại A, có cos$\widehat{AOA\text{'}}=\frac{AO}{A\text{'}O}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Xét tam giác BCC' vuông tại C có: C'B = $\sqrt{B{C}^2+CC{\text{'}}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác C'CD vuông tại C có: C'D = $\sqrt{D{C}^2+CC{\text{'}}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác C'BD có C'B = C'D nên tam giác C'BD cân tại C' mà C'O là trung tuyến nên C'O đồng thời là đường cao hay C'O $\perp$ BD.

Vì A'O $\perp$ BD, C'O $\perp$ BD nên góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\widehat{A\text{'}OC\text{'}}$.

Ta có OA' = C'O = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$; A'C' = a$\sqrt{2}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác A'OC' ta được:

cos$\widehat{A\text{'}OC\text{'}}=\frac{OA{\text{'}}^2+OC{\text{'}}^2-A\text{'}C{\text{'}}^2}{2.OA\text{'}.OC\text{'}}=\frac{1}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\frac{1}{3}$.