Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong

Giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).

b) Chứng minh rằng (SMD) $\perp$ (SHC).

Lời giải:

a) Vì tam giác SAD đều, SH là trung tuyến nên SH là đường cao hay SH $\perp$ AD.

Ta có (SAD) $\perp$ (ABCD) và SH $\perp$ AD nên SH $\perp$ (ABCD).

Suy ra CH là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD).

Khi đó góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà (SC,CH) = $\widehat{SCH}$.

Vì tam giác SAD đều cạnh a, SH là đường cao nên SH = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác DHC vuông tại D, có HC = $\sqrt{D{C}^2+D{H}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Xét tam giác SHC vuông tại H, có SC = $\sqrt{S{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{{\frac{3a}{4}}^2+\frac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2}$, cos$\widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{10}}{4}$ .

b) Vì ABCD là hình vuông nên AB = AD mà M, H lần lượt là trung điểm của AB và AD nên DH = HA = AM = MB.

Xét $∆$CDH và $∆$DAM có: CD = DA; $\widehat{CDH}=\widehat{DAM}$ = 90^o; DH = AM.

Do đó $∆$CDH = $∆$DAM.

Vì $∆$CDH = $∆$DAM suy ra $\widehat{CHD}=\widehat{DMA}$.

Do đó $\widehat{HDM}+\widehat{DHC}=\widehat{HDM}+\widehat{DMA}$= 90^o. Suy ra DM $\perp$ CH.

Vì SH $\perp$ (ABCD) nên SH $\perp$ DM mà DM $\perp$ CH. Do đó DM $\perp$ (SCH).

Mà DM $\subset$ (SMD) nên (SMD) $\perp$ (SHC).