Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Sách bài tập Toán 11 Bài 31 (Kết nối tri thức): Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

    Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 31.

    1 459 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

    Bài 9.1 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của hàm số y = 2x2 + 3x – 1 tại điểm x0 = 1.

    Lời giải:

    Tại điểm x0 = 1 ta có y0 = 2×12 + 3×1 – 1 = 4.

    Với x ≠ 1, ta có y−4x−1=2x2+3x−1−4x−1=2x2+3x−5x−1

    =2x+5x−1x−1=2x+5 .

    Do đó y'(1) = limx→1y−4x−1=limx→1(2x+5) = 7. Vậy y'(1) = 7.

    Bài 9.2 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = x(2x – 1)2. Tính f'(0) và f'(1).

    Lời giải:

    + Có f'(0) = limx→0fx−f0x−0=limx→0x2x−12x=limx→0(2x-1)2 = 1.

    Vậy f'(0) = 1.

    + Có f'(1) = limx→1fx−f1x−1=limx→1x2x−12−1x−1

    =limx→1x−12x−12+2x−12−1x−1

    =limx→1x−12x−12+2x−1−12x−1+1x−1

    =limx→1x−12x−12+4xx−1x−1

    Cho hàm số f(x) = x(2x – 1)^2. Tính f'(0) và f'(1)

    Vậy f'(1) = 5.

    Bài 9.3 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = Cho hàm số f(x) = (x-1)^2 khi x lớn hơn hoặc bằng 0 . Tính f'(0).

    Lời giải:

    Ta có f(0) = (0 – 1)2 = 1.

    Ta có limx→0+fx−f0x−0=limx→0+x−12−1x=limx→0+x2−2xx=limx→0+(x-2) = -2 ;

    limx→0−fx−f0x−0=limx→0−1−2x−1x=limx→0−−2xx=−2.

    Suy ra limx→0fx−f0x−0=limx→0+fx−f0x−0=limx→0−fx−f0x−0=−2 .

    Vậy f'(0) = −2.

    Bài 9.4 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số:

    a) y = ax2 (a là hằng số) tại điểm x0 bất kì.

    b) y=1x−1 tại điểm x0 bất kì, x0 ≠ 1.

    Lời giải:

    a) Đặt y = f(x) = ax2.

    Ta có y'(x0) = limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x0ax2−ax02x−x0

    =limx→x0ax2−x02x−x0=limx→x0ax−x0x+x0x−x0

    Tính đạo hàm của hàm số y = ax^2 (a là hằng số)

    Vậy y'(x0) = 2ax0.

    b) Đặt y = f(x) = 1x-1.

    Ta có y'(x0) = limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x01x−1−1x0−1x−x0

    =limx→x0x0−1−x−1x−1x0−1x−x0=limx→x0x0−xx−1x0−1x−x0

    =limx→x0−1x−1x0−1=−1x0−12.

    Vậy y'x0=−1x0−12 , x0 ≠ 1.

    Bài 9.5 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số y = x3 + 1, biết hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M bằng 3.

    Lời giải:

    Giả sử M(a; a3 + 1) là điểm thuộc đồ thị hàm số y = x3 + 1.

    Đặt y = f(x) = x3 + 1. Có y'(a) = limx→afx−fax−a

    =limx→ax3+1−a3+1x−a=limx→ax3−a3x−a

    =limx→ax−ax2+ax+a2x−a

    =limx→ax2+ax+a2=3a2.

    Theo đề bài, ta có y'(a) = 3 nên 3a2 = 3 ⇔ a = 1 hoặc a = −1.

    Với a = 1 thì M(1; 2);

    Với a = −1 thì M(−1; 0).

    Vậy M(1; 2) và M(−1; 0) là tọa độ điểm cần tìm.

    Bài 9.6 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −3x2, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5.

    Lời giải:

    Đặt y = f(x) = −3x2. Với x0 bất kì, ta có:

    y'(x0) = limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x0−3x2+3x02x−x0

    =limx→x0−3x2−x02x−x0=limx→x0−3x−x0x+x0x−x0

    Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = −3x^2

    Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến có dạng k = y'(x0) = −6x0 (x = x0 là hoành độ tiếp điểm).

    Do tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 6x + 5 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 6. Do đó −6x0 = 6 ⇔ x0 = −1.

    Với x0 = −1 thì y(−1) = −3.

    Khi đó, ta có phương trình tiếp tuyến là: y + 3 = 6(x + 1) hay y = 6x + 3.

    Vậy y = 6x + 3 là phương trình tiếp tuyến cần tìm.

    Bài 9.7 trang 57 SBT Toán 11 Tập 2: Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình s = t3 – 4t2 + 4t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 3 giây và t = 5 giây.

    Lời giải:

    Ta có vận tốc của vật tại thời điểm t0 bất kì là

    v(t0) = s'(t0) = limt→t0st−st0t−t0

    =limt→t0t3−4t2+4t−t03−4t02+4t0t−t0

    =limt→t0t3−t03−4t2−t02+4t−t0t−t0

    =limt→t0t−t0t2+tt0+t02−4t−t0t+t0+4t−t0t−t0

    Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình s = t^3 – 4t^2 + 4t

    Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 3×32 − 8×3 + 4 = 7 m/s.

    Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5 giây là v(5) = 3×52 − 8×5 + 4 = 39 m/s.

    Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

    1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

    - Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x0∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

    limx→x0⁡f(x)−f(x0)x−x0

    thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f(x) tại điểm x0, kí hiệu là f′(x0) hoặc y′(x0).

    - Cách viết khác của định nghĩa:

    f′(x0)=limh→0⁡f(x0+h)−f(x0)h.

    - Quy tắc tính đọa hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa:

    Bước 1: Tính f(x)−f(x0).

    Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số f(x)−f(x0)x−x0 với x∈(a;b),x≠x0.

    Bước 3: Tìm giới hạn limx→x0⁡f(x)−f(x0)x−x0.

    2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

    Hàm số y = f(x) được gọi là đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).

    3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

    - Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0;f(x0)) là k=f′(x0) nếu đạo hàm f′(x0) tồn tại.

    - Phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x0;y0), y0=f(x0) là:

    y−y0=f′(x0)(x−x0).

    4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

    Vận tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t là v(t) = s’(t).

    Sơ đồ tư duy Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

    Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (Kết nối tri thức 2024) hay, chi tiết | Toán lớp 11 (ảnh 1)

    Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

    Bài tập cuối chương 8

    Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

    Bài 33: Đạo hàm cấp hai

    Bài tập cuối chương 9

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 459 29/10/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: