Sách bài tập Toán 11 Bài 24 (Kết nối tri thức): Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Giải SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

Kẻ AH $\perp$ (BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường AB và BH, mà (AB, BH) = $\widehat{ABH}$ .

Vì AB = AC = AD nên HD = HB = HC hay H là tâm của tam giác BCD.

Gọi M là giao điểm của BH là CD.

Vì tam giác BCD đều cạnh a nên BM là đường cao, trung tuyến và BM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra BH = $\frac{2}{3}$BM = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H có: cos$\widehat{ABH}$ = $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA $\perp$ (ABCD), SA = a$\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

a) Vì SA $\perp$ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = $\widehat{SCA}$ .

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC² = AB² + BC² = 2a² ⇒ AC = a$\sqrt{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ AC mà SA = AC = a$\sqrt{2}$ nên tam giác SAC vuông cân tại A. Do đó $\widehat{SCA}$ = 45^o.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°.

b) Vì SA $\perp$ (ABCD) nên BC $\perp$ SA mà BC $\perp$ AB nên BC $\perp$ (SAB), suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng SB, mà (SB,SC) = $\widehat{BSC}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{3}$

Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: tan$\widehat{BSC}$ = $\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, biết AB = a, SA = a$\sqrt{6}$.

a) Tính tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

b) Tính sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

a) Kẻ BH $\perp$ AC tại H, mà SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BH nên BH $\perp$ (SAC).

Do đó SH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAC). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng góc giữa hai đường thẳng SB và SH, mà (SH,SB) = $\widehat{BSH}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, BH $\perp$ AC, ta có:

$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{B{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H, có:

AB² = BH² + AH² $\iff$a² = ${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$+AH² $\iff$AH² = $\frac{a^2}{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AC.

Xét tam giác SAH vuông tại A, có

SA² + AH² = SH² $\iff$(a$\sqrt{6}$)² + $\frac{a^2}{2}$ = SH² $\iff$SH = $\frac{a\sqrt{26}}{2}$.

Vì BH $\perp$ (SAC) nên BH $\perp$ SH.

Xét tam giác SHB vuông tại H, có tan$\widehat{BSH}$ = $\frac{HB}{SH}$ = $\frac{\sqrt{13}}{13}$.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là $\frac{\sqrt{13}}{13}$ .

b) Kẻ AK $\perp$ SB tại K.

Có SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà tam giác ABC vuông tại B nên BC $\perp$ AB.

Do đó BC $\perp$ (SAB) nên BC$\perp$ AK , suy ra AK $\perp$ (SBC).

Do đó CK là hình chiếu vuông góc của AC trên (SBC), suy ra góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AC và CK, mà (AC,CK) = $\widehat{ACK}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AK $\perp$ SB, có:

SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{7}$;

SA.AB = SB.AK $\Rightarrow$AK = $\frac{SA.AB}{SB}$ = a$\sqrt{\frac{6}{7}}$.

Do tam giác ABC vuông cân tại B nên AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì AK $\perp$ (SBC) nên AK $\perp$ CK.

Xét tam giác ACK vuông tại K, có sin$\widehat{ACK}=\frac{AK}{AC}=\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

Vậy sin của góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là $\frac{\sqrt{21}}{7}$ .

Bài 7.16 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và AA' = a$\sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A'B'C'D') trùng với trung điểm của B'D'. Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D').

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của A'C' và B'D'.

Khi đó, O là trung điểm của A'C' và B'D'.

Theo đề bài ta có O là hình chiếu của A trên mặt phẳng (A'B'C'D').

Do đó, A'O là hình chiếu vuông góc của AA' trên mặt phẳng (A'B'C'D'). Khi đó góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng góc giữa AA' và A'O. Mà (AA',A'O) = $\widehat{AA\text{'}O}$.

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên A'B'C'D' là hình vuông cạnh a. Do đó A'C'² = A'B'² + B'C'² = a² + a² = 2a² ⇒ A'C' = a$\sqrt{2}$.

$\Rightarrow$A'O = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác AOA' vuông tại O, có cos$\widehat{AA\text{'}O}$ = $\frac{OA\text{'}}{AA\text{'}}=\frac{1}{2}$$\widehat{AA\text{'}O}$ = 60^o.

Vậy góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (A'B'C'D') bằng 60°.

Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.

a) Chứng minh rằng SO $\perp$ (ABCD).

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và $\alpha$ là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính sin$\alpha$.

Lời giải:

a) Có O là trung điểm của AC, BD.

Vì SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Tương tự SO $\perp$ BD. Do đó SO $\perp$ (ABCD).

b) Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ AO.

Lại có AO $\perp$ BD (do ABCD là hình vuông). Do đó AO $\perp$ (SBD).

Suy ra SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD). Do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO.

Mà (SA,SO) = $\widehat{ASO}$.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a².

Có SA² + SC² = a² + a² = 2a², suy ra AC² = SA² + SC². Do đó tam giác ASC vuông tại S mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.

Xét tam giác vuông cân ASC tại S có SO là đường cao nên SO là phân giác. Do đó $\widehat{ASO}$ = 45^o .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 45°.

c) Kẻ OK $\perp$ BC tại K, OH $\perp$ SK tại H.

Có BC $\perp$ OK (cách vẽ), BC $\perp$ SO (SO $\perp$ (ABCD)). Do đó BC $\perp$ (SOK), suy ra BC $\perp$ OH mà OH $\perp$ SK nên OH $\perp$ (SBC).

Suy ra, HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà (OM,MH) = $\widehat{OMH}=\alpha$.

Do tam giác SOC vuông tại O, OM là trung tuyến nên OM = $\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác ABC có OK là đường trung bình nên OK = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác SAC vuông tại S, có $\frac{1}{S{O}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{C}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Xét tam giác SOK vuông tại O, có $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{K}^2}=\frac{4}{2a^2}+\frac{4}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .

Xét tam giác OHM vuông tại H, có sin$\alpha$ = sin$\widehat{OMH}=\frac{OH}{OM}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Bài 7.18 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài 10 m. Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?

Lời giải:

Gọi A là vị trí con diều, B là vị trí đầu dây diều trên mặt đất, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt đất.

Xét tam giác ABH vuông tại H, $\widehat{ABH}$= 60^o, AB = 10 m = 1 000 cm.

Ta có AH = AB . sin60°$\approx$ 866 (cm).

Vậy hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất khoảng 866 centimét.

Lý thuyết Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phép chiếu vuông góc

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) theo phương $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với (P) được gọi là phép chiều vuông góc lên mặt phẳng (P).

Chú ý:

- Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.

- Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc H’ của hình H trên mặt phẳng (P) còn được gọi là hình chiếu của H trên mặt phẳng (P).

Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a’ của a trên (P).

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng ${90}^0$.

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu $\alpha$ là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì $0^0\le \alpha \le {90}^0$.

Nhận xét: Nếu điểm A có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O không trung H. Khi đó góc giữa đường thẳng AO và mặt phẳng (P) bằng góc AOH.

Sơ đồ tư duy Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 26: Khoảng cách

Bài 27: Thể tích

Bài tập cuối chương 7

Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập