Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a

    Lời giải Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11.

    1 9,877 10/12/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a.

    a) Chứng minh rằng SO ⊥ (ABCD).

    b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

    c) Gọi M là trung điểm của cạnh SC và α là góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC). Tính sinα.

    Lời giải:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

    a) Có O là trung điểm của AC, BD.

    Vì SA = SC nên tam giác SAC là tam giác cân mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO ⊥ AC.

    Tương tự SO ⊥ BD. Do đó SO ⊥ (ABCD).

    b) Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ AO.

    Lại có AO ⊥ BD (do ABCD là hình vuông). Do đó AO ⊥ (SBD).

    Suy ra SO là hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng (SBD). Do đó góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO.

    Mà (SA,SO) = ASO^.

    Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.

    Có SA2 + SC2 = a2 + a2 = 2a2, suy ra AC2 = SA2 + SC2. Do đó tam giác ASC vuông tại S mà SA = SC nên tam giác ASC vuông cân tại S.

    Xét tam giác vuông cân ASC tại S có SO là đường cao nên SO là phân giác. Do đó ASO^ = 45o .

    Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 45°.

    c) Kẻ OK ⊥ BC tại K, OH ⊥ SK tại H.

    Có BC ⊥ OK (cách vẽ), BC ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)). Do đó BC ⊥ (SOK), suy ra BC ⊥ OH mà OH ⊥ SK nên OH ⊥ (SBC).

    Suy ra, HM là hình chiếu vuông góc của OM trên mặt phẳng (SBC), do đó góc giữa đường thẳng OM và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và MH, mà (OM,MH) = OMH^=α.

    Do tam giác SOC vuông tại O, OM là trung tuyến nên OM = SC2=a2.

    Xét tam giác ABC có OK là đường trung bình nên OK = AB2=a2.

    Xét tam giác SAC vuông tại S, có 1SO2=1SA2+1SC2=1a2+1a2⇒SO=a22 .

    Xét tam giác SOK vuông tại O, có 1OH2=1SO2+1OK2=42a2+4a2⇒OH=a66 .

    Xét tam giác OHM vuông tại H, có sinα = sinOMH^=OHOM=63.

    Vậy sinα = 63.

    *Phương pháp giải:

    Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

    5.\ \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}

    Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

    b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền; c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

    h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

    *Lý thuyết:

    Giả sử có tam giác vuông ABC vuông tại A như hình sau:

    Công thức tính đường cao trong tam giác (2024) và bài tập có đáp án (ảnh 1)

    Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

    1.\ {a^2} = {b^2} + {c^2}

    2.\ {b^2} = a.b' và {c^2} = a.c'

    3.\ ah = bc

    4.\ {h^2} = b'.c'

    5.\ \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}

    Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

    b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền; c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

    h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

    Xem thêm

    Công thức tính đường cao trong tam giác (2025) và bài tập có đáp án

    Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Bài 7.13 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a....

    Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a...

    Bài 7.15 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), đáy là tam giác ABC vuông cân tại B,...

    Bài 7.16 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a...

    Bài 7.17 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và các cạnh đều bằng a....

    Bài 7.18 trang 31 SBT Toán 11 Tập 2: Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc 60°....

    Xem thêm lời giải SBT Toán 11 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

    Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

    Bài 26: Khoảng cách

    Bài 27: Thể tích

    Bài tập cuối chương 7

    Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

    Tham khảo các loạt bài Toán 11 khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 9,877 10/12/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: