Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với (ABCD), SA =a căn 2

Giải SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.14 trang 30 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA $\perp$ (ABCD), SA = a$\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

a) Vì SA $\perp$ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABCD). Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và AC, mà (SC, AC) = $\widehat{SCA}$ .

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên AC² = AB² + BC² = 2a² ⇒ AC = a$\sqrt{2}$.

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ AC mà SA = AC = a$\sqrt{2}$ nên tam giác SAC vuông cân tại A. Do đó $\widehat{SCA}$ = 45^o.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°.

b) Vì SA $\perp$ (ABCD) nên BC $\perp$ SA mà BC $\perp$ AB nên BC $\perp$ (SAB), suy ra SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAB).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng góc giữa đường thẳng SC và đường thẳng SB, mà (SB,SC) = $\widehat{BSC}$.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{3}$

Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: tan$\widehat{BSC}$ = $\frac{BC}{SB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .