Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm

Giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.11 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) BC $\perp$ (SAH) và các đường thẳng AH, BC, SK đồng quy;

b) SB $\perp$ (CHK) và HK $\perp$ (SBC).

Lời giải:

a) Vì H là trực tâm tam giác ABC nên BC $\perp$ AH,

mà SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC. Do đó BC $\perp$ (SAH).

Gọi M là giao điểm của AH và BC, ta có BC $\perp$ (SAM) nên BC $\perp$ SM.

Mặt khác, K là trực tâm của tam giác SBC nên SM đi qua K.

Do đó AH, BC, SK đồng quy.

b) Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ CH, mà CH $\perp$ AB, suy ra CH $\perp$ (SAB).

Do đó CH $\perp$ SB.

Lại có SB $\perp$ CK nên SB $\perp$ (CHK).

Xét tam giác SBC, K là trực tâm nên BK $\perp$ SC.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BH mà BH $\perp$ CA nên BH $\perp$ (SAC), suy ra BH $\perp$ SC.

Vì BK $\perp$ SC và BH $\perp$SC nên SC $\perp$ (BHK), suy ra SC $\perp$ HK.

Mà SB $\perp$ HK (vì SB $\perp$ (CHK)). Do đó HK $\perp$ (SBC).