Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 27 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không. Tìm số hạng đầu tiên và công sai/công bội nếu có.

a) u_n = 5n – 7; b) u_n = 9.2ⁿ; c) u_n = n² – n + 1.

Lời giải:

a) + Có u_{n + 1} = 5(n + 1) – 7 = 5n – 2.

Xét u_{n + 1} – u_n = 5n – 2 – (5n – 7) = 5 với mọi n.

Do đó (u_n) là cấp số cộng với u₁ = −2 và d = 5.

+ Có u₁ = −2; u₂ = 3; u₃ = 8.

Vì $\frac{u_2}{u_1}=-\frac{3}{2}\ne \frac{8}{3}=\frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) không là cấp số nhân.

b) + Có u_{n + 1} = 9.2^{n + 1} = 18.2ⁿ.

Vì $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{18\cdot 2^n}{9\cdot 2^n}=2$ với mọi n nên (u_n) là cấp số nhân.

+ Có u₁ = 18; u₂ = 36; u₃ = 72.

Vì u₂ – u₁ = 36 – 18 = 18 ≠ u₃ – u₂ = 72 – 36 = 36 nên (u_n) không là cấp số cộng.

c) Có u₁ = 1; u₂ = 3; u₃ = 7.

Vì u₂ – u₁ = 3 – 1 ≠ u₃ – u₂ = 7 – 3 nên (u_n) không là cấp số cộng.

Vì $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{1}\ne \frac{7}{3}=\frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) không là cấp số nhân.