Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a; AD =a căn 2, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 42 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a; AD = a$\sqrt{2}$, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) bằng 30°.

a) Tính theo a thể tích khối hộp chữ nhật.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD'.

Lời giải:

a) Vì AA' $\perp$ (ABCD) nên AC là hình chiếu của A'C trên mặt phẳng (ABCD).

Do đó góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng A'C và AC, mà (A'C, AC) = $\widehat{A^{\text{'}}CA}=30°$.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD = a; AD = BC = a$\sqrt{2}$.

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$.

Xét tam giác A'AC vuông tại A, có AA' = AC.tan30° = $a\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=a$.

Khi đó V_{ABCD.A'B'C'D'} = AA' . AB . AD = a.a.a$\sqrt{2}$ = a^3$\sqrt{2}$.

b) Có A'D' // BC và A'D' = BC (do cùng song song và bằng AD).

Do đó A'D'CB là hình bình hành, suy ra CD' // BA'. Do đó CD' // (A'DB).

Khi đó d(BD, CD') = d(CD', (A'DB)) = d(D', (A'DB)).

Vì AD' cắt mặt phẳng (A'BD) tại trung điểm của đoạn AD' nên

d(D', (A'DB)) = d(A, (A'DB)) = h.

Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán tập 2, ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{A^{\text{'}}{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{A{B}^2}$$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{2a^2}$$\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{10}}{5}$.

Vậy d(BD, CD') $=\frac{a\sqrt{10}}{5}$ .