Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA =a căn 2

Giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 40 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a$\sqrt{2}$.

a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $\perp$ (ABCD).

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, có AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ AC.

Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = $\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Khi đó $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO$$=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$.

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$.

b) Có ABCD là hình vuông nên AD // BC suy ra AD // (SBC).

Khi đó d(AD, SB) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Đường thẳng AO cắt mặt phẳng (SBC) tại C và O là trung điểm của AC nên

d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)).

Kẻ OM $\perp$ BC tại M, OH $\perp$ SM tại H.

Vì BC $\perp$ OM, BC $\perp$ SO (do SO $\perp$ (ABCD)) nên BC $\perp$ (SOM), suy ra (SBC) $\perp$ (SOM).

Mà OH $\perp$ SM nên OH $\perp$ (SBC). Do đó d(O, (SBC)) = OH.

Có OM // AB (vì cùng vuông góc với BC).

Xét tam giác ABC có O là trung điểm của AC, OM // AB nên M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình. Do đó OM = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Vì SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ OM hay tam giác SOM vuông tại O.

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}$$=\frac{4}{6a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{14}{3a^2}$$\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{42}}{14}$.

Vậy d(AD, SB) = 2OH = $\frac{a\sqrt{42}}{7}$.