Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Mục lục Giải Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Video giải Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số (P1)

Video giải Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 44 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép cộng:

 $\frac{3x+1}{7x^{2}y}+\frac{2x+2}{7x^{2}y}.$

Lời giải

Hai phân thức này là hai phân thức có cùng mẫu nên khi thực hiện phép cộng ta chỉ cần giữ nguyên mẫu và cộng tử lại với nhau:

$\frac{3x+1}{7x^{2}y}+\frac{2x+2}{7x^{2}y}$

$=\frac{3x+1+2x+2}{7x^{2}y}$

$=\frac{5x+3}{7x^{2}y}.$

Câu hỏi 2 trang 45 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép cộng: $\frac{6}{x^2+4x}+\frac{3}{2x+8}.$

Lời giải

Hai phân thức này là hai phân thức chưa cùng mẫu nên ta sẽ thực hiện quy đồng trước:

Ta có: x² + 4x = x(x + 4) và 2x + 8 = 2(x + 4)

MTC: 2x(x + 4).

Nhân tử chung của mẫu của phân thức thứ nhất là 2:

$\frac{6}{x^2+4x}=\frac{6}{x\left(x+4\right)}$

$=$$\frac{6.2}{2x\left(x+4\right)}=\frac{12}{2x\left(x+4\right)}.$

Nhân tử phụ của mẫu của phân thức thứ hai là x:

$\frac{3}{2x+8}=\frac{3}{2\left(x+4\right)}$

$=\frac{3.x}{2\left(x+4\right).x}=\frac{3x}{2x\left(x+4\right)}.$

Khi đó, ta có:

$\frac{6}{x^2+4x}+\frac{3}{2x+8}$

$=\frac{12}{2x\left(x+4\right)}+\frac{3x}{2x\left(x+4\right)}$

$=\frac{12+3x}{2x\left(x+4\right)}.$

Câu hỏi 3 trang 45 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép cộng: $\frac{y-12}{6y-36}+\frac{6}{y^2-6y}.$

Lời giải

Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Cách 1: Hai phân thức này là hai phân thức chưa cùng mẫu nên ta sẽ thực hiện quy đồng trước:

MTC: 6y(y – 6).

Ta thực hiện quy đồng mẫu:

$\frac{y-12}{6y-36}=\frac{y-12}{6\left(y-6\right)}$

$=\frac{\left(y-12\right).y}{6\left(y-6\right).y}=\frac{y^2-12y}{6y\left(y-6\right)}$

$\frac{6}{y^2-6y}=\frac{6}{y\left(x-6\right)}$

$=\frac{6.6}{y\left(x-6\right).6}=\frac{36}{6y\left(x-6\right)}$

Khi đó, ta có:

$\frac{y-12}{6y-36}+\frac{6}{y^2-6y}$

$=\frac{y^2-12y}{6y\left(y-6\right)}+\frac{36}{6y\left(x-6\right)}$

$=\frac{y^2-12y+36}{6y\left(x-6\right)}$

$=\frac{{\left(y-6\right)}^{{}^2}}{6y\left(x-6\right)}.$

Cách 2: Cũng có thể quy đồng trực tiếp ngay trong quá trình thực hiện:

$\frac{y-12}{6y-36}+\frac{6}{y^2-6y}$

$=\frac{y-12}{6\left(y-6\right)}+\frac{6}{y\left(y-6\right)}$

$=\frac{y^2-12y}{6y\left(y-6\right)}+\frac{36}{6y\left(x-6\right)}$

$=\frac{y^2-12y+36}{6y\left(x-6\right)}$

$=\frac{{\left(y-6\right)}^{{}^2}}{6y\left(x-6\right)}.$

Câu hỏi 4 trang 46 Toán 8 Tập 1: Áp dụng các tính chất trên đây của phép cộng các phân thức để làm phép tính sau:

$\frac{2x}{x^2+4x+4}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{2-x}{x^2+4x+4}.$

Lời giải

$\frac{2x}{x^2+4x+4}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{2-x}{x^2+4x+4}$

$=\frac{2x}{x^2+4x+4}+\frac{2-x}{x^2+4x+4}+\frac{x+1}{x+2}$ (sử dụng tính chất giáo hoán)

$=\left(\frac{2x}{x^2+4x+4}+\frac{2-x}{x^2+4x+4}\right)+\frac{x+1}{x+2}$ (sử dụng tính chất kết hợp)

$=\frac{2x+2-x}{x^2+4x+4}+\frac{x+1}{x+2}$

$=\frac{x+2}{x^2+4x+4}+\frac{x+1}{x+2}$

$=\frac{x+2}{{\left(x+2\right)}^2}+\frac{x+1}{x+2}$

$=\frac{1}{x+2}+\frac{x+1}{x+2}$

$=\frac{1+x+1}{x+2}$

$=\frac{x+2}{x+2}=1.$

Bài tập

Bài 21 trang 46 Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{3x-5}{7}+\frac{4x+5}{7};$

b) $\frac{5xy-4y}{2x^2{y}^3}+\frac{3xy+4y}{2x^2{y}^3};$

c) $\frac{x+1}{x-5}+\frac{x-18}{x-5}+\frac{x+2}{x-5}.$

Lời giải

a) $\frac{3x-5}{7}+\frac{4x+5}{7}=\frac{3x-5+4x+5}{7}=\frac{7x}{7}.$

b) $\frac{5xy-4y}{2x^2{y}^3}+\frac{3xy+4y}{2x^2{y}^3}$

$=\frac{5xy-4y+3xy+4y}{2x^2{y}^3}$

$=\frac{8xy}{2x^2{y}^3}=\frac{4}{2x{y}^2}.$

c) $\frac{x+1}{x-5}+\frac{x-18}{x-5}+\frac{x+2}{x-5}$

$=\frac{x+1+x-18+x+2}{x-5}$

$=\frac{3x-15}{x-5}=\frac{3\left(x-5\right)}{x-5}=3.$

Bài 22 trang 46 Toán 8 Tập 1: Áp dụng quy tắc đổi dấu để các phân thức có cùng mẫu thức rồi làm tính cộng phân thức:

a) $\frac{2x^2-x}{x-1}+\frac{x+1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x-1};$

b) $\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x-2x^2}{3-x}+\frac{5-4x}{x-3}.$

Lời giải

a) $\frac{2x^2-x}{x-1}+\frac{x+1}{1-x}+\frac{2-x^2}{x-1}$

$=\frac{2x^2-x}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}+\frac{2-x^2}{x-1}$ (đổi dấu của phân thức thứ 2)

$=\frac{2x^2-x-\left(x+1\right)+2-x^2}{x-1}$

$=\frac{2x^2-x-x-1+2-x^2}{x-1}$

$=\frac{x^2-2x+1}{x-1}$

$$\begin{gathered} =\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x-1} \\ =x-1. \end{gathered}$$

b) $\frac{4-x^2}{x-3}+\frac{2x-2x^2}{3-x}+\frac{5-4x}{x-3}.$

$=\frac{4-x^2}{x-3}-\frac{2x-2x^2}{x-3}+\frac{5-4x}{x-3}$

$=\frac{4-x^2-\left(2x-2x^2\right)+5-4x}{x-3}$

$=\frac{4-x^2-2x+2x^2+5-4x}{x-3}$

$=\frac{x^2-6x+9}{x-3}$

$$\begin{gathered} =\frac{{\left(x-3\right)}^2}{x-3} \\ =x-3 \end{gathered}$$

Bài 23 trang 46 Toán 8 Tập 1: Làm các phép tính sau:

a) $\frac{y}{2x^2-xy}+\frac{4x}{y^2-2xy};$

b) $\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x^2-4}+\frac{x-14}{\left(x^2+4x+4\right)\left(x-2\right)};$

c) $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)};$

d) $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}.$

Lời giải

a) $\frac{y}{2x^2-xy}+\frac{4x}{y^2-2xy}$

$$\begin{gathered} =\frac{y}{x\left(2x-y\right)}+\frac{4x}{y\left(y-2x\right)} \\ =\frac{y}{x\left(2x-y\right)}-\frac{4x}{y\left(2x-y\right)} \\ =\frac{y^2}{xy\left(2x-y\right)}-\frac{4x^2}{xy\left(2x-y\right)} \\ =\frac{y^2-4x^2}{xy\left(2x-y\right)} \\ =\frac{y^2-{\left(2x\right)}^2}{xy\left(2x-y\right)} \\ =\frac{\left(y-2x\right)\left(y+2x\right)}{xy\left(2x-y\right)} \\ =\frac{-\left(2x-y\right)\left(y+2x\right)}{xy\left(2x-y\right)} \\ =\frac{-y-2x}{xy} \end{gathered}$$

b) $\frac{1}{x+2}+\frac{3}{x^2-4}+\frac{x-14}{\left(x^2+4x+4\right)\left(x-2\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{x+2}+\frac{3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x-14}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)} \\ =\frac{1\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)}+\frac{3\left(x+2\right)}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)}+\frac{x-14}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)} \\ =\frac{x^2-4}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)}+\frac{3x+6}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)}+\frac{x-14}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)} \\ =\frac{x^2-4+3x+6+x-14}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)} \\ =\frac{x^2+4x-12}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)} \\ =\frac{\left(x+6\right)\left(x-2\right)}{{\left(x+2\right)}^2\left(x-2\right)} \\ =\frac{x+6}{{\left(x+2\right)}^2} \end{gathered}$$

c) $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{4x+7}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4x+7+1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4x+8}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4}{4x+7}. \end{gathered}$$

d) $\frac{1}{x+3}+\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}+\frac{1}{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}+\frac{4x+7}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}+\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4x^2+7x+8x+14}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}+\frac{4x+7}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)}+\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4x^2+7x+8x+14+4x+7+x+3}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4x^2+20x+24}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4\left(x^2+5x+6\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{4\left(x+3\right)\left(x+2\right)}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(4x+7\right)} \\ =\frac{{\displaystyle 4}}{{\displaystyle 4x+7}} \end{gathered}$$

Bài 24 trang 46 Toán 8 Tập 1: Một con mèo đuổi bắt một con chuột. Lần đầu mèo chạy với vận tốc x m/s. Chạy được 3m thì mèo bắt được chuột. Mèo vờn chuột 40 giây rồi thả cho chuột chạy. Sau đó 15 giây mèo lại đuổi bắt nhưng với vận tốc lần đầu là 0,5 m/s. Chạy được 5m mèo lại bắt được chuột. Lần này thì mèo cắn chết chuột. Cuộc săn đuổi kết thúc. Hãy biểu diễn qua x:

- Thời gian lần thức nhất mèo đuổi bắt được chuột.

- Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột.

- Thời gian kể từ đầu cho đến khi kết thúc cuộc săn.

Lời giải

+ Vận tốc mèo chạy là x m/s

Quãng đường để mèo bắt được chuột lần thứ nhất là 3m

Thời gian lần thứ nhất mèo bắt được chuột là: $\frac{3}{x}$ (giây)

+ Vận tốc mèo chạy đuổi chuột lần hai nhỏ hơn vận tốc đầu là 0,5m/s

⇒ vận tốc = x – 0,5 (m/s)

Quãng đường mèo bắt được chuột lần thứ hai là 5m

Thời gian lần thứ hai mèo bắt được chuột là: $\frac{5}{x-0,5}$ (giây)

+ Tổng thời gian từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn bằng:

$\frac{3}{x}+40+15+\frac{5}{x-0,5}=\frac{3}{x}+55+\frac{5}{x-0,5}$(giây).

Bài 25 trang 47 Toán 8 Tập 1: Làm tính cộng các phân thức sau:

a) $\frac{5}{2x^{2}y}+\frac{3}{5x{y}^2}+\frac{x}{y^3};$

b) $\frac{x+1}{2x+6}+\frac{2x+3}{x\left(x+3\right)};$

c) $\frac{3x+5}{x^2-5x}+\frac{25-x}{25-5x};$

d) $x^2+\frac{x^4+1}{1-x^2}+1;$

e) $\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}.$

Lời giải

a) $\frac{5}{2x^{2}y}+\frac{3}{5x{y}^2}+\frac{x}{y^3}$

$$\begin{gathered} =\frac{5.5y^2}{10x^2{y}^3}+\frac{3.2xy}{10x^2{y}^3}+\frac{x.10x^2}{10x^2{y}^3} \\ =\frac{25y^2}{10x^2{y}^3}+\frac{6xy}{10x^2{y}^3}+\frac{10x^3}{10x^2{y}^3} \\ =\frac{25y^2+6xy+10x^3}{10x^2{y}^3} \end{gathered}$$

b) $\frac{x+1}{2x+6}+\frac{2x+3}{x\left(x+3\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{x+1}{2\left(x+3\right)}+\frac{2x+3}{x\left(x+3\right)} \\ =\frac{\left(x+1\right).x}{2x\left(x+3\right)}+\frac{\left(2x+3\right).2}{2x\left(x+3\right)} \\ =\frac{x^2+x}{2x\left(x+3\right)}+\frac{4x+6}{2x\left(x+3\right)} \\ =\frac{x^2+x+4x+6}{2x\left(x+3\right)} \\ =\frac{x^2+5x+6}{2x\left(x+3\right)} \\ =\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{2x\left(x+3\right)} \\ =\frac{x+2}{2x}. \end{gathered}$$

c) $\frac{3x+5}{x^2-5x}+\frac{25-x}{25-5x}$

$$\begin{gathered} =\frac{3x+5}{x\left(x-5\right)}+\frac{25-x}{5\left(5-x\right)} \\ =\frac{3x+5}{x\left(x-5\right)}-\frac{25-x}{5\left(x-5\right)} \\ =\frac{\left(3x+5\right).5}{5x\left(x-5\right)}-\frac{\left(25-x\right).x}{5x\left(x-5\right)} \\ =\frac{15x+25}{5x\left(x-5\right)}-\frac{25x-x^2}{5x\left(x-5\right)} \\ =\frac{15x+25-25+x^2}{5x\left(x-5\right)} \\ =\frac{15x+x^2}{5x\left(x-5\right)} \\ =\frac{x\left(15+x\right)}{5x\left(x-5\right)} \\ =\frac{x+15}{5\left(x-5\right)} \end{gathered}$$

d) $x^2+\frac{x^4+1}{1-x^2}+1$

$$\begin{gathered} =\frac{x^2\left(1-x^2\right)}{1-x^2}+\frac{x^4+1}{1-x^2}+\frac{1-x^2}{1-x^2} \\ =\frac{x^2-x^4}{1-x^2}+\frac{x^4+1}{1-x^2}+\frac{1-x^2}{1-x^2} \\ =\frac{x^2-x^4+x^4+1+1-x^2}{1-x^2} \\ =\frac{2}{1-x^2}. \end{gathered}$$

e) $\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}$

$$\begin{gathered} =\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{6\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x^2-2x-x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{6x^2+6x+6}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{4x^2-3x+17+2x^2-2x-x+1-6x^2-6x-6}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{-12x+12}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{-12\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)} \\ =\frac{-12}{x^2+x+1}. \end{gathered}$$

Bài 26 trang 47 Toán 8 Tập 1: Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600m³ đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình x m³/ngày và đội đào được 5000m³. Sau đó công việc ổn định hơn, năng suất của máy tăng 25m³/ngày.

a) Hãy biểu diễn:

- Thời gian xúc 5000m³ đầu tiên.

- Thời gian làm nốt phần việc còn lại.

- Thời gian làm việc để hoàn thành công việc.

b) Tính thời gian làm việc để hoàn thành công việc với x = 250m³/ngày.

Lời giải

Phân tích đầu bài:

Giai đoạn	Năng suất (m3/ngày)	Thời gian (ngày)	Sản phẩm (m3)
Giai đoạn đầu	x	?	5000
Giai đoạn sau	x + 25	?	?
Tổng	?	?	11600

a)

+ Thời gian xúc 5000m³ đầu tiên là: $\frac{5000}{x}$(ngày).

+ Phần việc còn lại là: 11 600 – 5 000 = 6 600 (m³)

Năng suất làm việc ở phần việc còn lại: x + 25 (m³)

⇒ Thời gian làm nốt phần việc còn lại: $\frac{6600}{x+25}$(ngày)

+ Thời gian làm việc để hoàn thành công việc: $\frac{5000}{x}+\frac{6600}{x+25}$(ngày) (1)

b) Thay x = 25 vào biểu thức (1), ta được:

$\frac{5000}{25}+\frac{6600}{25+25}=200+132=332$ (ngày).

Vậy với x = 250 m³/ngày, thời gian để hoàn thành công việc là 332 ngày.

Bài 27 trang 48 Toán 8 Tập 1: Đố. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\frac{x^2}{5x+25}+\frac{2\left(x-5\right)}{x}+\frac{50+5x}{x\left(x+5\right)}$ tại x = -4.

Nếu coi tử số của phân số tối giản mà em tìm được là ngày còn mẫu số là tháng thì đó chính là một ngày lễ trên thế giới. Đố em biết đó là ngày gì?

Lời giải

+ Rút gọn:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{5x+25}+\frac{2\left(x-5\right)}{x}+\frac{50+5x}{x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x^2}{5\left(x+5\right)}+\frac{2\left(x-5\right)}{x}+\frac{50+5x}{x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x^2.x}{5x\left(x+5\right)}+\frac{2\left(x-5\right).5\left(x+5\right)}{5x\left(x+5\right)}+\frac{\left(50+5x\right).5}{5x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x^3}{5x\left(x+5\right)}+\frac{10\left(x^2-25\right)}{5x\left(x+5\right)}+\frac{250+25x}{5x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x^3}{5x\left(x+5\right)}+\frac{10x^2-250}{5x\left(x+5\right)}+\frac{250+25x}{5x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x^3+10x^2-250+250+25x}{5x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x^3+10x^2+25x}{5x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x\left(x^2+10x+25\right)}{5x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x{\left(x+5\right)}^2}{5x\left(x+5\right)} \\ =\frac{x+5}{5}. \end{gathered}$$

Thay x = -4 vào biểu thức trên, ta được: $\frac{-4+5}{5}=\frac{1}{5}.$

Ta được ngày 1 tháng 5. Đó là ngày Quốc tế Lao động.

Bài giảng Toán 8 Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Xem thêm lời giải bài tập Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 6: Phép trừ các phân thức đại số

Bài 7: Phép nhân các phân thức đại số

Bài 8: Phép chia các phân thức đại số

Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Ôn tập chương 2

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số

Trắc nghiệm Phép cộng các phân thức đại số có đáp án