Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Mục lục Giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Video giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp (P1)

Video giải Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp (P2)

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 23 Toán 8 Tập 1: Phân tích đa thức 2x³y – 2xy³ – 4xy² – 2xy thành nhân tử.

Lời giải

2x³y – 2xy³ – 4xy² – 2xy

= 2xy(x² - y² - 2y - 1)

= 2xy[x² - (y² + 2y + 1)]

= 2xy[x² - (y + 1)² ]

= 2xy(x + y + 1)(x - y - 1)

Câu hỏi 2 trang 23 Toán 8 Tập 1:

a) Tính nhanh x² + 2x + 1 - y² tại x = 94,5 và y = 4,5.

b) Khi phân tích đa thức x² + 4x – 2xy – 4y + y² thành nhân tử, bạn Việt làm như sau:

x² + 4x – 2xy – 4y + y² 

= (x² - 2xy + y²) + (4x – 4y)

= (x - y)² + 4(x – y)

= (x – y)(x – y + 4).

Em hãy chỉ rõ trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải

a) x² + 2x + 1 - y² = (x + 1)² – y² 

= (x + y + 1)(x – y + 1)

Thay x = 94,5 và y = 4,5 ta có:

(x + y + 1)(x - y + 1)

= (94,5 + 4,5 + 1)(94,5 - 4,5 + 1)

= 100.91

= 9 100.

Vậy với x = 94,5 và y = 4,5 thì giá trị của biểu thức là 9100.

b) x² + 4x – 2xy – 4y + y² = (x² - 2xy +  y²) + (4x – 4y) → bạn Việt dùng phương pháp nhóm hạng tử

= (x - y)² + 4(x – y) → bạn Việt dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức cho ngoặc đầu tiên và đặt nhân tử chung cho ngoặc còn lại.

= (x – y)(x – y + 4) → bạn Việt dùng phương pháp đặt nhân tử chung

Bài tập

Bài 51 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ – 2x² + x.

b) 2x² + 4x + 2 – 2y²

c) 2xy – x² – y² + 16

Lời giải:

a) x³ – 2x² + x

= x.x² – x.2x + x ( nhân tử chung là x)

= x(x² – 2x + 1) ( biểu thức ở trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (2))

= x(x – 1)².

b) 2x² + 4x + 2 – 2y² (có nhân tử chung là 2)

= 2.(x² + 2x + 1 – y²) (biểu thức ở trong ngoặc xuất hiện x² + 2x + 1 là hằng đẳng thức)

= 2[(x² + 2x + 1) – y²]

= 2[(x + 1)² – y²] (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức (3))

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y).

c) 2xy – x² – y² + 16

= 16 – x² + 2xy – y²

= 16 – (x² – 2xy + y²) (biểu thức trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức số (2))

= 4² – (x – y)² (xuất hiện hằng đẳng thức (3))

= [4 – (x – y)][4 + (x - y)]

= (4 – x + y)(4 + x – y).

Bài 52 trang 24 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)² – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Lời giải

Ta có:

(5n + 2)² – 4

= (5n + 2)² – 2²

= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 với mọi số nguyên n.

Vậy (5n + 2)² – 4 luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

Bài 53 trang 24 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 3x + 2

b) x² + x – 6

c) x² + 5x + 6

(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x² – 3x + 2 = x² – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.

Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x² – 3x + 2 = x² – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)

Lời giải:

a) Cách 1: x² – 3x + 2

= x² – x – 2x + 2 (Tách –3x = – x – 2x)

= (x² – x) – (2x – 2)

= x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 2)

Cách 2: x² – 3x + 2

= x² – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)

= x² – 4 – 3x + 6

= (x² – 2²) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2)

(Xuất hiện nhân tử chung x – 2)

= (x – 2)(x + 2 – 3)

= (x – 2)(x – 1).

Cách 3: x² – 3x + 2

$=x^2-2.x.\frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

(thêm bớt hạng tử ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ để tạo thành hằng đẳng thức)

$$\begin{gathered} =\left[x^2-2.x.\frac{3}{2}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\right]+2-\frac{9}{4} \\ ={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{8}{4}-\frac{9}{4} \\ \begin{array}{l}={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\\ ={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ =\left(x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right).\left(x-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)\\ =\left(x-2\right).\left(x-1\right)\end{array} \end{gathered}$$

b) Cách 1: x² + x – 6

= x² + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)

= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)

= (x + 3)(x – 2)

Cách 2: x² + x – 6

$\begin{array}{l}=x^2+2x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ ={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-6-\frac{1}{4}\\ ={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{25}{4}\\ ={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2\\ =\left(x+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right).\left(x+\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right)\\ =\left(x-2\right).\left(x+3\right)\end{array}$

c) Cách 1: x² + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)

= x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung)

= (x + 2)(x + 3)

Cách 2: x² + 5x + 6

$\begin{array}{l}=x^2+2.x.\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+6-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2\\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2+6-\frac{25}{4}\\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ =\left(x+\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}+\frac{1}{2}\right)\\ =\left(x+2\right)\left(x+3\right)\end{array}$

Bài 54 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ + 2x²y + xy² – 9x

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y²

c) x⁴ – 2x²

Lời giải:

a) x³ + 2x²y + xy² – 9x (Có x là nhân tử chung)

= x(x² + 2xy + y² – 9)

(biểu thức trong ngoặc có x² + 2xy + y² là hằng đẳng thức số (1))

= x[(x² + 2xy + y²) – 9]

= x[(x + y)² – 3²]

(biểu thức trong ngoặc xuất hiện hằng đẳng thức (3)]

= x(x + y – 3)(x + y + 3)

b) 2x – 2y – x² + 2xy – y²

(Có x² ; 2xy ; y² ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= (2x – 2y) – (x² – 2xy + y²)

= 2(x – y) – (x – y)² (Có x – y là nhân tử chung)

= (x – y)[2 – (x – y)]

= (x – y)(2 – x + y)

c) x⁴ – 2x² (Có x² là nhân tử chung)

= x²(x² – 2)

$=x^2\left[x^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right]$ 

(biểu thức trong ngoặc vuông là hằng đẳng thức số (3))

$=x^2\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right).$

Bài 55 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tìm x, biết:

a) $x^3-\frac{1}{4}x=0;$

b) (2x – 1)² – (x + 3)² = 0;

c) x²(x – 3) + 12 – 4x = 0.

Lời giải:

a) $x^3-\frac{1}{4}x=0$

$\iff x\left(x^2-\frac{1}{4}\right)=0$

$\iff x\left[x^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]=0$ 

(biểu thức bên trong ngoặc vuông có dạng hằng đẳng thức số (3)).

$$\begin{gathered} \iff x\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x-\frac{1}{2}=0\\ x+\frac{1}{2}=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{1}{2}\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $x\in \left\{-\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right\}$.

b) Ta có: (2x – 1)² – (x + 3)² =0 (xuất hiện HĐT (3))

⇔ [(2x – 1) – (x + 3)][(2x – 1) + (x + 3)] = 0

⇔ (2x – 1 – x – 3).(2x – 1 + x + 3) = 0

⇔ (x – 4)(3x + 2) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}x-4=0\\ 3x+2=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-\frac{2}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $x\in \left\{4;-\frac{2}{3}\right\}$.

c) x²(x – 3) + 12 – 4x

⇔ x²(x – 3) – 4.(x – 3) = 0 (Có nhân tử chung là x – 3)

⇔ (x² – 4)(x – 3) = 0

⇔ (x² – 2²).(x – 3) = 0 (biểu thức trong ngoặc đầu tiên xuất hiện HĐT (3))

⇔ (x – 2)(x + 2)(x – 3) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-2\\ x=3\end{array}\right.$

Vậy x = 2 hoặc x = –2 hoặc x = 3.

Bài 56 trang 25 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh giá trị của đa thức:

a) $x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$ tại x = 49,75.

b) x² – y² – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6.

Lời giải:

a) Ta có: $x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$

$=x^2+2.x\frac{1}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2$

$={\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2.$

Thay $x=49,75=49\frac{3}{4}$ vào biểu thức trên, ta được:

$$\begin{gathered} {\left(49\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)}^2={\left(49+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)}^2 \\ ={\left(49+1\right)}^2={50}^2=2500. \end{gathered}$$

Vậy giá trị của biểu thức là 2 500 tại x = 49,75.

b) Ta có: x² – y² – 2y – 1

(Thấy có y² ; 2y ; 1 ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))

= x² – (y² + 2y + 1)

= x² – (y + 1)² (Xuất hiện HĐT (3))

= (x – y – 1)(x + y + 1)

Thay x = 93, y = 6 vào biểu thức trên, ta được:

(93 – 6 – 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600.

Vậy với x = 93, y = 6 thì giá trị biểu thức là 8 600.

Bài 57 trang 25 Toán 8 Tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x² – 4x + 3;        

b) x² + 5x + 4;

c) x² – x – 6;        

d) x⁴ + 4.

(Gợi ý câu d): Thêm và bớt 4x² vào đa thức đã cho)

Lời giải:

a) Cách 1: x² – 4x + 3

= x² – x – 3x + 3

(Tách –4x = –x – 3x)

= x(x – 1) – 3(x – 1)

(Có x – 1 là nhân tử chung)

= (x – 1)(x – 3)

Cách 2: x² – 4x + 3

= x² – 2.x.2 + 2² + 3 – 2²

(Thêm bớt 2² để có HĐT (2))

= (x – 2)² – 1

(Xuất hiện HĐT (3))

= (x – 2 – 1)(x – 2 + 1)

= (x – 3)(x – 1)

b) Cách 1: x² + 5x + 4

= x² + x + 4x + 4

(Tách 5x = x + 4x)

= x(x + 1) + 4(x + 1)

(có x + 1 là nhân tử chung)

= (x + 1)(x + 4)

Cách 2:

$$\begin{gathered} =x^2+2.x.\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+4-\frac{25}{4} \\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-\frac{9}{4} \\ ={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2 \\ =\left(x+\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\right) \\ =\left(x+1\right)\left(x+4\right) \end{gathered}$$

c) Cách 1: x² – x – 6

= x² + 2x – 3x – 6 (Tách –x = 2x – 3x)

= x(x + 2) – 3(x + 2) (có x + 2 là nhân tử chung)

= (x – 3)(x + 2)

Cách 2: x² – x – 6

$$\begin{gathered} =x^2-2.x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-6-\frac{1}{4} \\ ={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{25}{4} \\ ={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2 \\ =\left(x-\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\right) \\ =\left(x-3\right)\left(x+2\right) \end{gathered}$$

d) x⁴ + 4

= (x²)² + 2²

= x⁴ + 2.x².2 + 4 – 4x² (Thêm bớt 2.x².2 để có HĐT (1))

= (x² + 2)² – (2x)² (Xuất hiện HĐT (3))

= (x² + 2 – 2x)(x² + 2 + 2x)

Bài 58 trang 25 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng n³ – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Lời giải:

A = n³ – n (có nhân tử chung n)

= n(n² – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

+) Nếu n chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

Nếu n lẻ thì n + 1 là số chẵn $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2$

 Do đó A chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n (1).

+) Nếu n chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$.

Nếu n chia cho 3 dư 1 thì n = 3k + 1 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 1 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Nếu n chia cho 3 dư 2 thì n = 3k + 2 $\left(k\in ℝ\right)$ $\Rightarrow$n – 2 = 3k $\left(k\in ℝ\right)$ chia hết cho 3 $\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3$

Do đó A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n (2).

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Vậy A chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n.

Bài giảng Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Xem thêm lời giải bài tập Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức

Bài 11: Chia đa thức với đơn thức

Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ôn tập chương 1

Bài 1: Phân thức đại số

Xem thêm tài liệu khác Toán học lớp 8 hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

Trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp có đáp án